Calcule a densidade planar dos átomos no plano (020) do Ferro (CCC)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedido: calcular a densidade planar de átomos no plano
do Ferro com estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, ou BCC). - Informações úteis (implícitas):
- A célula unitária é cúbica de aresta
. - Na estrutura BCC há átomos nos oito vértices
e um átomo no centro do cubo .
- A célula unitária é cúbica de aresta
- Observação importante: o enunciado não dá o valor numérico de
. Vou apresentar a resposta em função de (forma geral) e também calcular um valor numérico usando o parâmetro de rede do ferro -Fe à temperatura ambiente, (isso é um valor conhecido que estou assumindo para obter um número final).
Passo 2
O que é “densidade planar” e como vamos calcular:
- Definição: a densidade planar é o número de centros de átomos cuja posição pertence exatamente ao plano considerado, dividido pela área de repetição (unidade de área) da malha bidimensional desse plano.
- Plano a analisar: Miller
. Miller é equivalente, em orientação, a (apenas multiplicado por 2), portanto é um plano paralelo ao plano com equação
(no caso de
a interseção com o eixo
ocorre em
). Logo trabalhamos com o plano paralelo a
situado em
.
- Estratégia: identificar quais centros atômicos têm coordenada
, escolher a área elementar (célula de repetição) desse plano e contar quantos centros caem nessa área; então dividir por essa área.
Passo 3
Posições dos átomos na BCC e quais estão no plano
:
- Átomos da célula convencional (coordenadas em função de
): - Vértices: esquemas tipo
— todos têm coordenada igual a ou . - Corpo-centro:
— tem coordenada .
- Vértices: esquemas tipo
- Portanto:
- Os átomos dos vértices NÃO têm centros em
(estão em ou ). - O átomo do corpo-centro da célula convencional tem centro em
e, por periodicidade, há um átomo com centro em por cada célula da rede projeta na superfície: posições gerais dos centros que pertencem a esse plano são
com . - Os átomos dos vértices NÃO têm centros em
Passo 4
Escolha da área de repetição e contagem de centros por área:
- O plano
é paralelo aos eixos e . A malha de repetição na direção e tem períodos em cada direção (porque os centros no plano estão em e ). - Portanto uma área elementar (unidade de área) natural para contar é um quadrado de lados
por , área
- Quantos centros de átomos caem dentro dessa área elementar? Há exatamente um centro de átomo (o átomo de corpo‑centro da célula) por cada área
— os vértices não contribuem porque seus centros não estão nesse plano. Logo o número de centros por área é .
Passo 5
Cálculo da densidade planar em termos de
:
- Pelo raciocínio anterior, a densidade planar (átomos por unidade de área) é
Passo 6
Cálculo numérico para o ferro BCC (opcional, usando
):
- Substituindo:
- Interpretação rápida: isso significa que, no plano
do ferro BCC, há cerca de centros atômicos por metro quadrado.