Calcule a densidade planar dos átomos no plano (020) do Ferro (CCC)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: calcular a densidade planar de átomos no plano (020) do Ferro com estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, ou BCC).
  • Informações úteis (implícitas):
    • A célula unitária é cúbica de aresta \,a.
    • Na estrutura BCC há átomos nos oito vértices (0,0,0),(a,0,0),\dots e um átomo no centro do cubo (a/2,a/2,a/2).
  • Observação importante: o enunciado não dá o valor numérico de \,a. Vou apresentar a resposta em função de \,a (forma geral) e também calcular um valor numérico usando o parâmetro de rede do ferro \alpha-Fe à temperatura ambiente, \,a=2{,}866\times10^{-10}\\ \text{m} (isso é um valor conhecido que estou assumindo para obter um número final).

Passo 2

O que é “densidade planar” e como vamos calcular:
  • Definição: a densidade planar é o número de centros de átomos cuja posição pertence exatamente ao plano considerado, dividido pela área de repetição (unidade de área) da malha bidimensional desse plano.
  • Plano a analisar: Miller (020). Miller (0\,2\,0) é equivalente, em orientação, a (0\,1\,0) (apenas multiplicado por 2), portanto é um plano paralelo ao plano xz com equação
y = \frac{a}{2}
(no caso de (020) a interseção com o eixo y ocorre em a/2). Logo trabalhamos com o plano paralelo a xz situado em y=a/2.
  • Estratégia: identificar quais centros atômicos têm coordenada y=a/2, escolher a área elementar (célula de repetição) desse plano e contar quantos centros caem nessa área; então dividir por essa área.

Passo 3

Posições dos átomos na BCC e quais estão no plano (020):
  • Átomos da célula convencional (coordenadas em função de a):
    • Vértices: esquemas tipo (0,0,0),(a,0,0),(0,a,0),\dots — todos têm coordenada y igual a 0 ou a.
    • Corpo-centro: \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2}\right) — tem coordenada y=\dfrac{a}{2}.
  • Portanto:
    • Os átomos dos vértices NÃO têm centros em y=\dfrac{a}{2} (estão em y=0 ou y=a).
    • O átomo do corpo-centro da célula convencional tem centro em y=\dfrac{a}{2} e, por periodicidade, há um átomo com centro em y=\dfrac{a}{2} por cada célula da rede projeta na superfície: posições gerais dos centros que pertencem a esse plano são
    \left(\frac{a}{2}+n a,\\ \frac{a}{2},\\ \frac{a}{2}+p a\right),com n,p\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Escolha da área de repetição e contagem de centros por área:
  • O plano y=\dfrac{a}{2} é paralelo aos eixos x e z. A malha de repetição na direção x e z tem períodos \,a em cada direção (porque os centros no plano estão em x=\dfrac{a}{2}+n a e z=\dfrac{a}{2}+p a).
  • Portanto uma área elementar (unidade de área) natural para contar é um quadrado de lados a por a, área
A_{\text{unit}} = a^2.
  • Quantos centros de átomos caem dentro dessa área elementar? Há exatamente um centro de átomo (o átomo de corpo‑centro da célula) por cada área a^2 — os vértices não contribuem porque seus centros não estão nesse plano. Logo o número de centros por área a^2 é 1.

Passo 5

Cálculo da densidade planar em termos de \,a:
  • Pelo raciocínio anterior, a densidade planar (átomos por unidade de área) é
\text{PD}=\frac{1}{a^2}.

Passo 6

Cálculo numérico para o ferro BCC (opcional, usando a=2{,}866\times10^{-10}\\ \text{m}):
  • Substituindo:
\text{PD}=\frac{1}{\left(2{,}866\times10^{-10}\right)^2} =\frac{1}{8{,}214\times10^{-20}} \approx 1{,}22\times10^{19}\\ \text{átomos·m}^{-2}.á
  • Interpretação rápida: isso significa que, no plano (020) do ferro BCC, há cerca de 1{,}22\times10^{19} centros atômicos por metro quadrado.

Resposta

\displaystyle \text{Densidade planar}=\frac{1}{a^{2}}\\ \text{átomos·m}^{-2}.á
\displaystyle \text{Com }a=2{,}866\times10^{-10}\\ \text{m (Fe): } \text{PD}\approx1{,}22\times10^{19}\\ \text{átomos·m}^{-2}.á

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