1. Uma barra de ouro tem a 0^{\circ} \mathrm{C} o comprimento de 100 cm . (a) Determine o comprimento da barra quando sua temperatura passa a ser 50^{\circ} \mathrm{C}. (b) Determine a dilatação relativa da barra.
    Dado: O coeficiente de dilatação linear médio do ouro para o intervalo de temperatura considerado vale 15 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}. { }^{1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • O comprimento inicial da barra em 0^\circ\mathrm{C} é \,L_0=100\\ \mathrm{cm}.
    • A temperatura sobe para 50^\circ\mathrm{C}. Então a variação de temperatura é \,\Delta T=50^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=50^\circ\mathrm{C}.
    • O coeficiente de dilatação linear médio do ouro para esse intervalo é \,\alpha=15\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar o comprimento da barra quando sua temperatura é 50^\circ\mathrm{C}.
    • (b) Determinar a dilatação relativa da barra (isto é, \dfrac{\Delta L}{L_0}, sem unidade).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar o significado de cada símbolo (aula rápida e direta).
  • Fórmula da dilatação linear (para variações de temperatura relativamente pequenas e coeficiente médio constante):
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T
onde:
  • \Delta L é o aumento de comprimento (em \mathrm{cm}, se L_0 estiver em \mathrm{cm}),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear médio (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_0 é o comprimento inicial (em \mathrm{cm}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Explicação simples: a fórmula diz que o aumento de comprimento é proporcional ao comprimento inicial e à variação de temperatura; o coeficiente \alpha é a constante de proporcionalidade que depende do material (aqui, ouro). Isso é tudo que normalmente se usa numa prova para barra homogênea.

Passo 3

Calcular a variação de comprimento \Delta L usando a fórmula, de forma bem detalhada.
  • Substituindo os valores na fórmula:
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T
\Delta L = \left(15\times10^{-6}\right)\times\left(100\right)\times\left(50\right)
  • Fazer as contas passo a passo:
    • Primeiro calcular 100\times50=5000.
    • Então \Delta L = 15\times10^{-6}\times5000.
    • 15\times5000=75000.
    • Portanto \Delta L = 75000\times10^{-6}.
    • 75000\times10^{-6}=0,075 (convertendo: 75000\times10^{-6}=75000/10^{6}=0,075).
  • Resultado:
\Delta L = 0,075\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Determinar o comprimento final da barra L em 50^\circ\mathrm{C}.
  • A relação entre comprimento final e variação é:
L = L_0 + \Delta L
  • Substituindo:
L = 100 + 0,075
L = 100,075\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular a dilatação relativa da barra \dfrac{\Delta L}{L_0} e interpretar o resultado.
  • Cálculo:
\frac{\Delta L}{L_0}=\frac{0,075}{100}=0,00075
  • Em notação científica:
\frac{\Delta L}{L_0}=7,5\times10^{-4}.
  • Em porcentagem (opcional, para intuir a ordem de grandeza):
0,00075\times100\%=0,075\%.
  • Interpretação curta: a barra cresceu apenas 0,075\%, ou seja, uma variação muito pequena (como costuma acontecer em metais para variações térmicas moderadas).

Resposta

(a) L=100,075\\ \mathrm{cm}
(b) \dfrac{\Delta L}{L_0}=7,5\times10^{-4} (ou 0,00075)

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