Outra preocupação usual da Balística é a força de recuo da arma ao ser disparada. Se essa força não for compensada, a arma pode se movimentar para trás de forma descontrolada, provocando sérios acidentes. A Física consegue calcular a intensidade dessa força. Certo canhão antiaéreo, por exemplo, dispara projéteis de 25 kg , levando 0,1 \mathrm{~s} para sair do repouso e atingir a velocidade máxima de 1000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, ainda no canhão. Esse canhão possui 30 toneladas e seu coeficiente de atrito estático mede 0,9 em solo argiloso. Considerando que a aceleração da gravidade mede 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine, em relação à horizontal, o menor ângulo que esse canhão pode disparar seus projéteis, apoiado em solo horizontal argiloso, sem que deslize? Dica: o peso do projétil é desprezível em relação à força do disparo.
a) 60^{\circ} (cosseno =0,5 e seno \cong 0,9 )
b) 45^{\circ} (cosseno \cong 0,7 e seno \cong 0,7 )
c) 30^{\circ} (cosseno \cong 0,9 e seno =0,5 )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do projétil: m=25\\ \mathrm{kg}.
    • tempo dentro do canhão para atingir a velocidade: \Delta t=0,1\\ \mathrm{s}.
    • velocidade final do projétil (no canhão): v=1000\\ \mathrm{m/s}.
    • massa do canhão: M=30\\ \text{toneladas}=30\,000\\ \mathrm{kg}.
    • coeficiente de atrito estático do solo argiloso: \mu=0,9.
    • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
    • dica do enunciado: peso do projétil desprezível frente à força do disparo (podemos ignorar o peso do projétil no equilíbrio vertical).
  • O que o enunciado pede:
    • determinar, em relação à horizontal, o menor ângulo \theta que o canhão pode disparar sem que deslize, considerando o canhão apoiado em solo horizontal e as opções de múltipla escolha:
      a) 60^\circ, b) 45^\circ, c) 30^\circ.

Passo 2

Calcular a força média de reação (força de recuo) exercida sobre o canhão pela aceleração do projétil.
  • Primeiro, a variação de quantidade de movimento (impulso) do projétil:
\Delta p = m v = 25 \times 1000 = 25000\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Força média aplicada ao projétil (e reação igual e oposta no canhão) é
F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{25000}{0{,}1}=250000\\ \mathrm{N}.
Explicação rápida: o canhão empurra o projétil e, pela 3ª lei de Newton, o projétil empurra o canhão com força de mesma intensidade F, na direção oposta ao movimento do projétil.

Passo 3

Modelo das forças horizontais e verticais e condição para não deslizar.
  • Decompondo a força de recuo F na direção do cano (ângulo \theta acima da horizontal):
    • componente horizontal para trás: F_{\!x}=F\cos\theta.
    • componente vertical (para baixo, porque a reação é na direção oposta ao projétil): F_{\!y}=F\sin\theta (direção para baixo, aumentando a normal).
  • A normal entre canhão e solo passa a ser
N = M g + F\sin\theta.
  • A força de atrito estático máxima disponível para impedir o deslizamento é
F_{\mathrm{at\,max}}=\mu N=\mu\bigl(M g + F\sin\theta\bigr).
  • Para que o canhão não deslize, a componente horizontal do recuo não pode exceder essa força de atrito:
F\cos\theta \le \mu\bigl(M g + F\sin\theta\bigr).
Essa desigualdade é a condição de equilíbrio horizontal estático (a força que tenta deslocar o canhão para trás deve ser ≤ atrito máximo).

Passo 4

Testar a condição no caso mais desfavorável (menor ângulo), que é \theta=0^\circ (disparo horizontal).
  • Para \theta=0^\circ temos \cos0^\circ=1 e \sin0^\circ=0. A condição fica
F \le \mu M g.
  • Substituindo números:
F = 250000\\ \mathrm{N},\qquad \mu M g = 0{,}9 \times 30000 \times 10 = 270000\\ \mathrm{N}.
  • Comparando:
250000 \le 270000\quad\text{(verdadeiro).}
Interpretação: mesmo disparando horizontalmente ( \theta=0^\circ), a força de atrito disponível é maior que a componente horizontal do recuo. Logo, teoricamente o menor ângulo que ainda evita deslizamento é \theta=0^\circ.

Passo 5

Concluir considerando as alternativas de múltipla escolha e verificar que todas as opções dadas também satisfazem a condição (apenas para segurança).
  • Para \theta=30^\circ: \cos30^\circ\approx0{,}866, \sin30^\circ=0{,}5. F\cos30^\circ \approx 250000\times0{,}866\approx216506\\ \mathrm{N},
N=300000+250000\times0{,}5=425000\\ \mathrm{N},\quad \mu N=0{,}9\times425000=382500\\ \mathrm{N},
como 216506 \le 382500, não desliza.
  • Para \theta=45^\circ: \cos45^\circ\approx\sin45^\circ\approx0{,}707. F\cos45^\circ\approx176776\\ \mathrm{N},\quad N\approx300000+176776=476776\\ \mathrm{N},
\mu N\approx429098\\ \mathrm{N},\quad 176776 \le 429098.
  • Para \theta=60^\circ: \cos60^\circ=0{,}5,\\ \sin60^\circ\approx0{,}866. F\cos60^\circ=125000\\ \mathrm{N},\quad N\approx300000+216506=516506\\ \mathrm{N},
\mu N\approx464855\\ \mathrm{N},\quad 125000 \le 464855.
Todos os três ângulos dados nas alternativas satisfazem a condição de não deslizar. Como a pergunta pede o menor ângulo que permite não deslizar, a resposta teórica é 0^\circ. Entre as alternativas oferecidas, a menor é 30^\circ.

Resposta

c) 30^\circ

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