1. Com o auxílio de uma barra de ferro quer-se determinar a temperatura de um forno. Para tal, a barra inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C}, é introduzida no forno. Verifica-se que, após o equilíbrio térmico, o alongamento da barra é um centésimo do comprimento inicial. Sendo 12 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}-1 o coeficiente de dilatação linear médio do ferro, determine a temperatura do forno. R: 853,3^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação: a barra tem temperatura inicial 20^\circ\mathrm{C}.
  • Informação: após equilibrar-se no forno, o alongamento observado é igual a um centésimo do comprimento inicial, ou seja \Delta L = \dfrac{L_0}{100}.
  • Informação: o coeficiente de dilatação linear médio do ferro é \alpha = 12 \times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Pedido: determinar a temperatura do forno (temperatura final T da barra, em ^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Apresentar a fórmula que relaciona alongamento térmico linear com variação de temperatura e explicar seus termos.
A fórmula básica da dilatação linear é
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é o aumento do comprimento (m),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_0 é o comprimento inicial (m),
  • \Delta T é a variação de temperatura, isto é \Delta T = T - T_0 (em ^\circ\mathrm{C}),
  • T_0 é a temperatura inicial ( 20^\circ\mathrm{C} no problema),
  • T é a temperatura final (temperatura do forno) que queremos achar.
Explicação didática: a dilatação linear diz que o alongamento é proporcional ao comprimento original e à mudança de temperatura. O coeficiente \alpha é a constante de proporcionalidade que diz quanto uma unidade de comprimento cresce por grau de temperatura.

Passo 3

Substituir os dados do enunciado na fórmula e simplificar.
Temos \Delta L = \dfrac{L_0}{100}. Substituindo em \Delta L = \alpha L_0 (T-T_0) obtém-se
\dfrac{L_0}{100} = \alpha\,L_0\,(T - 20^\circ\mathrm{C}).
Agora observe que L_0 aparece em ambos os lados e não é zero, logo podemos cancelar L_0:
\dfrac{1}{100} = \alpha\,(T - 20^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Isolar T e calcular numericamente, mostrando cada passo da conta para não errar.
Isolando T:
T - 20^\circ\mathrm{C} = \dfrac{1}{100\alpha}, \qquad T = 20^\circ\mathrm{C} + \dfrac{1}{100\alpha}.
Substituindo \alpha = 12\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
T = 20^\circ\mathrm{C} + \dfrac{1}{100\cdot(12\times 10^{-6})}.
Calcule a fração com cuidado:
\dfrac{1}{100\cdot(12\times 10^{-6})} = \dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{1}{100\times 10^{-6}} = \dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{10^{6}}{100} = \dfrac{1}{12}\cdot 10^{4} = \dfrac{10000}{12} = 833,333\ldots
Portanto
T = 20^\circ\mathrm{C} + 833,333\ldots^\circ\mathrm{C} = 853,333\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para uma casa decimal (como na resposta fornecida):
T \approx 853,3^\circ\mathrm{C}.

Resposta

853,3^\circ\mathrm{C}

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