Uma barra plana de peso desprezível tem o comprimento de
e está simplesmente apoiada em dois suportes, nos pontos
e
, que distam
entre si e que a mantém na posição horizontal. Uma das suas extremidades está apoiada em
, e a outra está presa a uma mola ideal vertical fixa no teto de constante elástica igual a
, conforme representado no desenho abaixo.
Um menino de peso 400 N caminha sobre a barra a partir do ponto
em direção à extremidade presa à mola. Quando o menino está à máxima distância
do ponto
, sem que a barra gire, a elongação da mola é de 40 cm . O valor da máxima distância
é
Um menino de peso 400 N caminha sobre a barra a partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede! Temos uma barra de 10 metros de comprimento apoiada nos pontos A e B, que estão 6 metros de distância um do outro. Uma das extremidades está no A, e a outra está presa a uma mola com constante elástica de 25 N/m. Um menino com peso de 400 N anda da posição B em direção à mola, e queremos descobrir qual a maior distância $ D $ que ele pode andar sem fazer a barra girar, sabendo que a mola se estende 40 cm nessa posição. Vamos usar conceitos de estática, equilíbrio de torques e a força da mola para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. A mola se estende 40 cm, o que nos permite calcular a força que ela exerce usando a lei de Hooke:
Onde:
- $ k = 25, N/m $ (constante elástica da mola)
- $ \Delta x = 0,4, m $ (elongação da mola)
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos analisar os torques (momentos de força) para garantir que a barra esteja em equilíbrio e não gire. Vamos escolher o ponto A como pivô, já que ele está fixo e facilita os cálculos.
As forças que causam torques são:
- O peso do menino ($ P = 400, N $) atuando a uma distância $ D $ de A.
- A força da mola ($ F_{mola} = 10, N $) atuando a 10 metros de A (pois a barra tem 10 metros de comprimento).
- A força de reação no suporte B ($ R_B $) atuando a 6 metros de A.
Como a barra está em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário:
Escrevendo isso matematicamente:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 4
Além disso, considerando a soma das forças verticais, já que a barra está em equilíbrio:
Como a barra não tem peso:
Mas não precisamos encontrar $ R_A $ para descobrir $ D $, então focaremos na equação dos torques.
Passo 5
Resolvendo a equação dos torques para encontrar $ D $:
Vamos isolar $ D $:
Agora, para garantir que a barra não gire, a força de reação no suporte B ($ R_B $) deve ser positiva. No limite máximo, $ R_B $ pode ser zero (apenas).
Então, substituindo $ R_B = 0 $:
Como distância não pode ser negativa, isso indica que o $ R_B $ mínimo para evitar a rotação está em $ R_B = 0 $, e a distância máxima $ D $ é 0,25 metros (25 cm).
Resposta
A máxima distância $ D $ que o menino pode alcançar é de 0,25 metros.