Determine quais das seguintes funções pertencem ao espaço L2 :
A. f(x)=sech(x)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a função
está em f(x)=sech(x). Isso cai no conteúdo de espaços , mais especificamente . Para resolver a gente vai precisar da definição de (ou seja, ) e da integral de , sabendo que a derivada de é .

Passo 2

Pelo critério de integral-infty^infty l|sech(x)r|^2,dx , a gente precisa checar se
é um número finito. Primeiro note que já é positiva, então . Ficamos com

Passo 3

Agora a teoria: sabemos que
Ou seja, tem primitiva ddxl(tanh(x)r)=sech^2(x) . Então a integral imprópria vira

Passo 4

Vamos avaliar nos limites:
  • Quando l[tanh(x)r]-infty^infty = 1 - (-1) = 2, , .
  • Quando , .
    Logo
que é finito.

Resposta

Como , concluímos que pertence a .

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