Considerando que o raio do sol vale 7,00 cdot 10^8 m, o raio da terra 6,4 cdot 10^6 m e que a distância do sol à terra vale 1,5 cdot 10^8 km, calcule o comprimento do cone de sombra da terra. (3 pontos).

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para calcular o comprimento do cone de sombra (umbra) que a Terra forma a partir dela até o ponto em que todos os raios do Sol que “passam” pela Terra convergem. É um problema de Geometria Aplicada, mais especificamente de semelhança de triângulos.
O que temos de dados:
  • Raio do Sol
  • Raio da Terra
  • Distância Sol–Terra
Vamos usar o conceito de triângulos semelhantes para relacionar essas quantidades e achar o comprimento do cone de sombra.

Passo 2

Quando um objeto iluminado pelo Sol projeta sombra, os raios extremos definem dois triângulos semelhantes:
  • Um triângulo maior que vai do centro do Sol até a ponta da sombra, com raio de base RsD + L ;=; ReL e comprimento total Rs ,L ;=; Re,(D + L) Longrightarrow Rs L ;=; Re D + Re L .
  • Um triângulo menor que vai do centro da Terra até a ponta da sombra, com raio de base Rs L - Re L = Re D Longrightarrow L,(Rs - Re) = Re,D Longrightarrow L = Re,DRs - Re e comprimento .
Pela semelhança de triângulos, a razão entre raios é igual à razão entre comprimentos:
Isso nos leva a:
Isolando :

Passo 3

Só aplicar valores em notação científica:
Numerador:
Re times D = l(6,4times10^6r)timesl(1,5times10^11r) = 9,6times10^17 m^2
Denominador:
Rs - Re = 7,00times10^8 ;-; 6,4times10^6 = (7,00 - 0,064)times10^8 = 6,936times10^8 m
Dividindo:
L = 9,6times10^176,936times10^8 approx 1,3846times10^9 m
Convertendo para quilômetros (dividindo por L approx 1,38times10^6 km ):

Resposta

O comprimento do cone de sombra da Terra é aproximadamente
boxed1,38times10^9 m(approx1,38times10^6 km)

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