(2,5) Uma barra plana de seção transversal retangular, comprimento L=1,5 \mathrm{~m}, espessura t= 25 mm , está submetida à tensão P=125 \mathrm{kN}. Sabendo que b_{1}=100 \mathrm{~mm}, b_{2}=150 \mathrm{~mm} \mathrm{e} E=200 \mathrm{GPa} calcule o alongamento \delta da barra.

Passo 1

O enunciado trata de uma barra de comprimento L=1,5,m, carregada axialmente por P=125,kN, com seção retangular cuja espessura é t=25,mm e cuja largura varia linearmente de b_1=100,mm em uma extremidade até b_2=150,mm na outra. O que precisamos é do alongamento total \delta dessa barra. O conteúdo de matéria envolvido é a deformação axial de barra não uniforme, em que a fórmula geral é
\delta \;=\;\int_{0}^{L}\frac{P}{E\,A(x)}\,dx.

Passo 2

Como a largura varia linearmente, definimos
b(x)=b_{1}+\bigl(b_{2}-b_{1}\bigr)\frac{x}{L},
e a área da seção em função de x é
A(x)=t\,b(x)=t\Bigl[b_{1}+\bigl(b_{2}-b_{1}\bigr)\frac{x}{L}\Bigr].

Passo 3

O alongamento diferencial é
d\delta=\frac{P}{E\,A(x)}\,dx
e, integrando de x=0 a x=L, temos
\delta=\int_{0}^{L}\frac{P}{E\,t\,[\,b_{1}+(b_{2}-b_{1})\,x/L\,]}\,dx.

Passo 4

Fazendo a mudança de variável u=b_{1}+(b_{2}-b_{1})x/L, nota-se que du=(b_{2}-b_{1})/L\,dx. Assim
\delta =\frac{P}{E\,t}\,\frac{L}{b_{2}-b_{1}} \int_{u=b_{1}}^{u=b_{2}}\frac{1}{u}\,du =\frac{P\,L}{E\,t\,(b_{2}-b_{1})}\bigl[\ln(u)\bigr]_{b_{1}}^{b_{2}} =\frac{P\,L}{E\,t\,(b_{2}-b_{1})}\ln\!\Bigl(\frac{b_{2}}{b_{1}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo valores, primeiro convertendo para o SI: \,P=125\times10^{3},N, \,L=1,5,m, \,E=200\times10^{9},Pa, \,t=25,mm =0,025,m, \,b_{1}=100,mm =0,10,m, \,b_{2}=150,mm =0,15,m.
Logo,
\delta =\frac{125\times10^{3}\times1,5}{200\times10^{9}\times0,025\times(0,15-0,10)} \ln\!\Bigl(\tfrac{0,15}{0,10}\Bigr) =\frac{187{,}5\times10^{3}}{2{,}5\times10^{8}}\ln(1{,}5) \approx7{,}5\times10^{-4}\times0{,}405465 \approx3{,}04\times10^{-4}\text{ m}.

Resposta

\displaystyle \delta\approx3,04\times10^{-4}\,\mathrm{m} (aproximadamente 0,304,mm)

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