Uma barra de prata de comprimento 10 cm , difusividade térmica c^2=1,71 cm^2 / s, tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^circ C nas extremidades x=0 e x=10. Considerando a transferência de calor unidimensional, encontre a temperatura T(x, t) para f(x) igual a:
f(x)=100

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar a temperatura T(x,t) ao longo de uma barra de prata de comprimento L=10 cm, com difusividade térmica c^2=1,71 cm^2/s, sujeita à equação do calor unidimensional Tt = c^2 Txx, com condições de contorno T(0,t)=T(10,t)=0 e condição inicial T(x,0)=f(x)=100.

Passo 2

Para resolver, a gente usa Separação de Variáveis. Primeiro, procuramos soluções da forma X(x),!,G(t). As funções espaciais que satisfazem X(0)=X(10)=0 são senos sinl(npi x/Lr), com autovalores lambdan=(npi/L)^2. Daí, a solução geral é uma soma de modos:
T(x,t)=sumn=1^infty Bn,sinl(tfracnpi xLr),e^-c^2lambdan t

Passo 3

Agora precisamos ajustar os coeficientes Bn para a condição inicial. Usamos ortogonalidade dos senos:
Bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr),dx
Como f(x)=100 é constante,
Bn=2Lcdot100integral0^Lsinl(tfracnpi xLr)dx=200LcdotLnpil[1-(-1)^nr]=200npil[1-(-1)^nr]
Isso vale zero para n par e tfrac400npi para n ímpar.

Passo 4

Finalmente, restringimos a soma a termos ímpares n=2k+1 e substituímos L=10 e c^2=1,71. Assim, a temperatura é
T(x,t)=sumk=0^infty400(2k+1)pi,sinl(tfrac(2k+1)pi x10r)expl(-tfrac1,71,(2k+1)^2pi^2100,tr)
E pronto!
A solução em série acima é a resposta geral para T(x,t) quando f(x)=100.

Resposta

T(x,t)=sumk=0^infty400(2k+1)pi,sinl((2k+1)pi x10r)expl(-1,71,(2k+1)^2pi^2100,tr)

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