Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
dada pelo gráfico
sobre o domínio
. O tipo de superfície é do tipo gráfico de uma função de duas variáveis, portanto podemos parametrizá-la naturalmente por
.
Passo 2
Parametrizamos
por
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes:
O vetor normal orientado para cima é dado por
Passo 4
Avaliamo\u2011nos o campo na parametrização e fazemos o produto escalar:
Passo 5
O fluxo é a integral dupla
onde
. Isso dá
Passo 6
Fazendo a integral em
:
Logo o integrando em
é
Passo 7
Integramos em
:
Calculando por partes e diretas, obtemos
$$\int_0^1x\sinh x,dx=\cosh1-\sinh1,\quad \int_0^1\sinh x,dx=\cosh1-1.
$$
Subtraindo, o resultado é .
Subtraindo, o resultado é
Resposta
1 - \sinh(1)