Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
F=[cosh y, 0, senh x], S: z=x+y^2, 0 <= y <= x, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F=[cosh y,0,sinh x] através da superfície S dada pelo gráfico z=x+y^2 sobre o domínio 0<= y<= x<=1. O tipo de superfície é do tipo gráfico de uma função de duas variáveis, portanto podemos parametrizá-la naturalmente por (x,y).

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y)=(x,,y,,x+y^2), 0<= y<= x<=1

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
rx=(1,0,1), ry=(0,1,2y)
O vetor normal orientado para cima é dado por
n= rxtimes ry=(-1,-2y,1)

Passo 4

Avaliamo\u2011nos o campo na parametrização e fazemos o produto escalar:
vec F( r(x,y))=(cosh y,0,sinh x),
vec Fcdot n=cosh ycdot(-1)+0cdot(-2y)+sinh xcdot1=-cosh y+sinh x

Passo 5

O fluxo é a integral dupla
integral duplaSvec Fcdot d S=integral duplaD(-cosh y+sinh x),dx,dy,
onde D:,0<= y<= x<=1. Isso dá
integralx=0^1integraly=0^x(-cosh y+sinh x),dy,dx

Passo 6

Fazendo a integral em y:
integral0^x-cosh y,dy=-sinh x,
integral0^xsinh x,dy=xsinh x
Logo o integrando em x é
-sinh x+xsinh x=sinh x,(x-1)

Passo 7

Integramos em x:
integral0^1sinh x,(x-1),dx=integral0^1xsinh x,dx-integral0^1sinh x,dx
Calculando por partes e diretas, obtemos
$$\int_0^1x\sinh x,dx=\cosh1-\sinh1,\quad \int_0^1\sinh x,dx=\cosh1-1.
$$
Subtraindo, o resultado é integral0^1xsinh x,dx=cosh1-sinh1, integral0^1sinh x,dx=cosh1-1 .

Resposta

1 - \sinh(1)

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