Uma barra prismática AB de comprimento L , área de seção transversal A , módulo de elasticidade E e peso W está pendurada verticalmente sob seu próprio peso. Determine (a) a expressão para o alongamento em C localizado a uma distância h da extremidade livre, (b) o alongamento total desta barra, (c) o valor da razão entre o alongamento da metade superior pelo alongamento da metade inferior.
Resposta
a) \delta_{C}=\frac{W}{2 E A L}\left(L^{2}-h^{2}\right)

b) \delta_{B}=\frac{W L}{2 E A}
c) \beta=3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (algumas informações foram retiradas da imagem fornecida).
  • A barra prismática tem comprimento \,L\,, área da seção transversal \,A\,, módulo de elasticidade (Young) \,E\, e peso total \,W\,.
  • A extremidade superior está presa (ponto A) e a extremidade inferior é livre (ponto B).
  • O ponto C está localizado a uma distância \,h\, da extremidade livre B (essa posição de C em relação a B foi obtida da imagem).
  • O enunciado pede:
    (a) a expressão para o alongamento em C (isto é, o alongamento da barra desde a extremidade presa até a seção em C);
    (b) o alongamento total da barra (alongamento em B);
    (c) a razão entre o alongamento da metade superior pelo alongamento da metade inferior da barra.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e escrever a força interna em uma seção.
  • Defina uma coordenada y medida a partir da extremidade presa (topo) A, com y=0 em A e y=L em B. Assim uma seção a distância y do topo corta a parte da barra abaixo dela com comprimento L-y.
  • A distribuição de peso por unidade de comprimento é constante e vale \,w=\dfrac{W}{L}\, (peso total dividido pelo comprimento).
  • A força axial (tração) F(y) que atua na seção localizada em y é igual ao peso da porção da barra situada abaixo dessa seção, logo:
F(y)=w\,(L-y)=\frac{W}{L}\,(L-y)=W\!\left(1-\frac{y}{L}\right).
  • Observação: em y=0 (topo) temos F(0)=W e em y=L (base) temos F(L)=0, como esperado.

Passo 3

Relacionar força, tensão e deformação usando a lei de Hooke e definir o alongamento elementar.
  • A tensão normal média na seção em y é \sigma(y)=\dfrac{F(y)}{A}.
  • Pela lei de Hooke (elasticidade linear), a deformação axial local é \varepsilon(y)=\dfrac{\sigma(y)}{E}=\dfrac{F(y)}{A E}.
  • Um elemento de comprimento dy situado em y sofre um alongamento elemental d\delta dado por:
d\delta=\varepsilon(y)\,dy=\frac{F(y)}{A E}\,dy.

Passo 4

Escrever a integral para o alongamento desde o topo até uma posição y_0 e integrar.
  • O alongamento acumulado desde o topo y=0 até uma seção em y=y_0 é a integral dos alongamentos elementares:
\delta(y_0)=\int_{0}^{y_0} \frac{F(y)}{A E}\,dy.
  • Substituindo F(y)=W\left(1-\dfrac{y}{L}\right):
\delta(y_0)=\int_{0}^{y_0}\frac{W}{A E}\left(1-\frac{y}{L}\right)dy =\frac{W}{A E}\int_{0}^{y_0}\left(1-\frac{y}{L}\right)dy.
  • Calcule a integral passo a passo:
\int_{0}^{y_0}\left(1-\frac{y}{L}\right)dy =\left[y-\frac{y^{2}}{2L}\right]_{0}^{y_0} = y_0-\frac{y_0^{2}}{2L}.
  • Portanto a expressão geral para o alongamento até y_0 é
\delta(y_0)=\frac{W}{A E}\left(y_0-\frac{y_0^{2}}{2L}\right).

Passo 5

Aplicar a fórmula geral ao ponto C (localizado a distância h da extremidade livre B).
  • A posição de C medida a partir do topo é y_C=L-h (pois h foi dado a partir da extremidade livre).
  • Substituindo y_0=y_C=L-h na expressão:
\delta_C=\frac{W}{A E}\left(L-h-\frac{(L-h)^{2}}{2L}\right).
  • Desenvolver o termo quadrático e simplificar passo a passo:
(L-h)^{2}=L^{2}-2Lh+h^{2},
\frac{(L-h)^{2}}{2L}=\frac{L^{2}}{2L}-\frac{2Lh}{2L}+\frac{h^{2}}{2L}=\frac{L}{2}-h+\frac{h^{2}}{2L}.
  • Substituindo na expressão de \delta_C:
\delta_C=\frac{W}{A E}\left(L-h-\left(\frac{L}{2}-h+\frac{h^{2}}{2L}\right)\right) =\frac{W}{A E}\left(\frac{L}{2}-\frac{h^{2}}{2L}\right).
  • Colocando em forma fatorada:
\delta_C=\frac{W}{2 E A L}\left(L^{2}-h^{2}\right).
(Isto responde a letra (a).)

Passo 6

Calcular o alongamento total da barra (alongamento em B, ou seja y_0=L).
  • Use a fórmula geral com y_0=L:
\delta_B=\frac{W}{A E}\left(L-\frac{L^{2}}{2L}\right)=\frac{W}{A E}\left(L-\frac{L}{2}\right)=\frac{W L}{2 A E}.
(Isto responde a letra (b).)

Passo 7

Calcular a razão entre o alongamento da metade superior e o da metade inferior.
  • Primeiro encontre o alongamento da metade superior: isso é o alongamento entre y=0 e y=L/2, ou seja \delta_{\text{sup}}=\delta(L/2). Use a fórmula geral:
\delta\!\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{W}{A E}\left(\frac{L}{2}-\frac{(L/2)^{2}}{2L}\right).
  • Calcule os termos:
\frac{(L/2)^{2}}{2L}=\frac{L^{2}/4}{2L}=\frac{L}{8}, \qquad \frac{L}{2}-\frac{L}{8}=\frac{4L- L}{8}=\frac{3L}{8}.
  • Logo
\delta_{\text{sup}}=\frac{W}{A E}\cdot\frac{3L}{8}=\frac{3 W L}{8 A E}.
  • O alongamento da metade inferior é o alongamento entre y=L/2 e y=L, isto é
\delta_{\text{inf}}=\delta_B-\delta\!\left(\frac{L}{2}\right) =\frac{W L}{2 A E}-\frac{3 W L}{8 A E} =\frac{W L}{8 A E}.
  • A razão pedida é
\beta=\frac{\delta_{\text{sup}}}{\delta_{\text{inf}}} =\frac{\dfrac{3 W L}{8 A E}}{\dfrac{W L}{8 A E}}=3.
(Isto responde a letra (c).)

Resposta

\delta_{C}=\dfrac{W}{2 E A L}\left(L^{2}-h^{2}\right)
\delta_{B}=\dfrac{W L}{2 E A}
\beta=3

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