Uma barra prismática AB de comprimento L , área de seção transversal A , módulo de elasticidade E e peso W está pendurada verticalmente sob seu próprio peso. Determine (a) a expressão para o alongamento em C localizado a uma distância h da extremidade livre, (b) o alongamento total desta barra, (c) o valor da razão entre o alongamento da metade superior pelo alongamento da metade inferior.
Resposta
a) \delta_{C}=\frac{W}{2 E A L}\left(L^{2}-h^{2}\right)
b) \delta_{B}=\frac{W L}{2 E A}
c) \beta=3
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (algumas informações foram retiradas da imagem fornecida).
A barra prismática tem comprimento \,L\,, área da seção transversal \,A\,, módulo de elasticidade (Young) \,E\, e peso total \,W\,.
A extremidade superior está presa (ponto A) e a extremidade inferior é livre (ponto B).
O ponto C está localizado a uma distância \,h\, da extremidade livre B (essa posição de C em relação a B foi obtida da imagem).
O enunciado pede:
(a) a expressão para o alongamento em C (isto é, o alongamento da barra desde a extremidade presa até a seção em C);
(b) o alongamento total da barra (alongamento em B);
(c) a razão entre o alongamento da metade superior pelo alongamento da metade inferior da barra.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e escrever a força interna em uma seção.
Defina uma coordenada y medida a partir da extremidade presa (topo) A, com y=0 em A e y=L em B. Assim uma seção a distância y do topo corta a parte da barra abaixo dela com comprimento L-y.
A distribuição de peso por unidade de comprimento é constante e vale \,w=\dfrac{W}{L}\, (peso total dividido pelo comprimento).
A força axial (tração) F(y) que atua na seção localizada em y é igual ao peso da porção da barra situada abaixo dessa seção, logo:
\delta_C=\frac{W}{2 E A L}\left(L^{2}-h^{2}\right).
(Isto responde a letra (a).)
Passo 6
Calcular o alongamento total da barra (alongamento em B, ou seja y_0=L).
Use a fórmula geral com y_0=L:
\delta_B=\frac{W}{A E}\left(L-\frac{L^{2}}{2L}\right)=\frac{W}{A E}\left(L-\frac{L}{2}\right)=\frac{W L}{2 A E}.
(Isto responde a letra (b).)
Passo 7
Calcular a razão entre o alongamento da metade superior e o da metade inferior.
Primeiro encontre o alongamento da metade superior: isso é o alongamento entre y=0 e y=L/2, ou seja \delta_{\text{sup}}=\delta(L/2). Use a fórmula geral: