Uma barra de pulverização possui 7 metros de comprimento, e diâmetro de 7 / 8 " ( 0,022 \mathrm{~m} ) e contêm 14 bicos de pulverização modelo TXVK-8 que aplica 1,02 \mathrm{l} / \mathrm{min} quando a pressão for de 12 bar. Considerando que a barra é construída em alumínio, qual deverá ser a perda de carga?
\left(\left(v_{\text {água }}=1 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \varepsilon / \varnothing=0,001\right)\right.á
Escolha uma opção:
a. 0,2 \mathrm{mca}
b. 0,4 \mathrm{mca}
c. 0,6 \mathrm{mca}
d. 0,8 \mathrm{mca}
e. 1,0 \mathrm{mca}

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga ao longo da barra de pulverização (em metros de coluna d’água, mca). Dados fornecidos que eu vou usar (copiados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Comprimento da barra: }L=7\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro interno da barra: }D=\tfrac{7}{8}\text{''} = 0,022\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Número de bicos: }14\\\ &\text{Vazão por bico (a 12 bar): }q_{\text{bico}}=1,02\\ \mathrm{L/min}\\\ &\text{Viscosidade cinemática da água: }\nu=1\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}\\\ &\text{Rugosidade relativa: }\dfrac{\varepsilon}{D}=0,001 \end{aligned}âúãáá
O que preciso encontrar: a perda de carga (altura de coluna d’água, mca) ao longo de L=7\\ \mathrm{m} para o escoamento que alimenta os 14 bicos.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a vazão total na barra. Cada bico dá 1,02\\ \mathrm{L/min}. Então
Q_{\text{total}}=14\cdot 1,02\\ \mathrm{L/min}=14{,}28\\ \mathrm{L/min}.
Converter para \mathrm{m^{3}/s}: 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}, logo
Q=\dfrac{14{,}28\times 10^{-3}}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}000238\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal da barra e a velocidade média do fluido. Área:
A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}=\dfrac{\pi (0,022)^{2}}{4}.
Vou calcular numericamente:
D^{2}=(0,022)^{2}=0{,}000484,
A=\pi\cdot 0{,}000484/4 \approx 0{,}00038013\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média:
v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0{,}000238}{0{,}00038013}\approx 0{,}6265\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar o número de Reynolds para saber o regime do escoamento. Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\dfrac{vD}{\nu},
onde v é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática. Substituindo:
\mathrm{Re}=\dfrac{0{,}6265\cdot 0{,}022}{1\times 10^{-6}}\approx 13783.
Interpretação didática: \mathrm{Re}\gtrsim 4000 indica escoamento turbulento. Então vamos usar fórmula de perda de carga para tubos em regime turbulento.

Passo 5

Explicar a fórmula de perda de carga que vamos usar: equação de Darcy–Weisbach.
h_{f}=f\cdot \dfrac{L}{D}\cdot \dfrac{v^{2}}{2g},
onde
  • h_{f} é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • D é o diâmetro do tubo (m),
  • v é a velocidade média (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Então preciso estimar f. Para escoamento turbulento em tubos rugosos depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Uma fórmula explícita prática é a fórmula de Swamee–Jain:
f=\dfrac{0{,}25}{\biggl[\log_{10}\!\Bigl(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\biggr]^{2}}.
Aqui \varepsilon/D é dado como 0{,}001. Vou aplicar essa fórmula (ela é uma aproximação explícita da equação de Colebrook, adequada para engenharia e para nosso Re).

Passo 6

Calcular o fator de atrito f pelo Swamee–Jain. Primeiro os termos:
\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}=\dfrac{0{,}001}{3{,}7}=0{,}00027027\ldots
\mathrm{Re}^{0{,}9}\approx 13783^{0{,}9}\approx 5329\quad(\text{cálculo aproximado}),á
\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx \dfrac{5{,}74}{5329}\approx 0{,}001077.
Somando:
\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}0002703+0{,}001077=0{,}0013473.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(0{,}0013473)\approx -2{,}870.
Ao quadrado:
\bigl(-2{,}870\bigr)^{2}\approx 8{,}2369.
Finalmente:
f=\dfrac{0{,}25}{8{,}2369}\approx 0{,}03036.
Interpretação: f\approx 0{,}0304 é um valor típico para escoamento turbulento em tubos com essa rugosidade relativa e esse Re.

Passo 7

Calcular a perda de carga com Darcy–Weisbach. Primeiro o termo \dfrac{L}{D}:
\dfrac{L}{D}=\dfrac{7}{0{,}022}\approx 318{,}18.
O termo energético \dfrac{v^{2}}{2g}:
\dfrac{v^{2}}{2g}=\dfrac{(0{,}6265)^{2}}{2\cdot 9{,}81}=\dfrac{0{,}3925}{19{,}62}\approx 0{,}02001\\ \mathrm{m}.
Agora:
h_{f}=f\cdot \dfrac{L}{D}\cdot \dfrac{v^{2}}{2g}\approx 0{,}03036\cdot 318{,}18\cdot 0{,}02001.
Calculo final:
318{,}18\cdot 0{,}02001\approx 6{,}3636,
h_{f}\approx 0{,}03036\cdot 6{,}3636\approx 0{,}1933\\ \mathrm{m}.
Arredondando para uma casa decimal compatível com as alternativas: h_{f}\approx 0{,}19\\ \mathrm{m}, ou aproximadamente 0{,}2\\ \mathrm{m} de coluna d’água.

Passo 8

Conclusão prática: entre as alternativas dadas a que mais se aproxima é 0{,}2\\ \mathrm{mca}.

Resposta

a. 0,2\\ \mathrm{mca}

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