Um sistema de bombeamento de água de uma barragem para uma caixa d’água deve ser dimensionado. A caixa d’água está posicionada em nível (acima) de 53 m em relação à barragem. A tubulação que irá conduzir a água será de polietileno de 11 / 2 "(0,0375 \mathrm{~m}) e deverá ter 550 m de comprimento. A vazão conduzida deverá ser de 9,26 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Desta forma, utilizando a equação universal, qual será a perda de carga contínua nesta tubulação e qual deverá ser a pressão de saída da bomba para que a água chegue a caixa d’água. ( v_{\text {água }}= 1 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}á )
Escolha uma opção:
a. 56 mca
b. 76 mca
c. 46 mca
d. 36 mca
e. 66 mca

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras: a perda de carga contínua na tubulação e a pressão (em mca) que a bomba deve entregar para que a água chegue à caixa d’água. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Altura da caixa d'água (diferença de cota)} = 53\\ \text{m},\\[4pt] &\text{Diâmetro da tubulação }D = 0{,}0375\\ \text{m},\\[4pt] &\text{Comprimento da tubulação }L = 550\\ \text{m},\\[4pt] &\text{Vazão }Q = 9{,}26\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s},\\[4pt] &\text{Viscosidade cinemática } \nu = 1\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. \end{aligned}áçâçãçããá
O que se pede:
  1. calcular a perda de carga contínua h_f ao longo dos 550\\ \mathrm{m} da tubulação;
  2. calcular a pressão de saída da bomba expressa em mca (ou seja, a cabeça que a bomba deve fornecer) para que a água alcance a cota da caixa.]

Passo 2

Primeiro calculo a área da seção transversal do tubo para obter a velocidade média. Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}0375\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}0375)^{2}}{4}=0{,}0011035\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Agora a velocidade média V é dada por
V=\frac{Q}{A}.
Substituindo Q=9{,}26\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s} e o A calculado:
V=\frac{9{,}26\times 10^{-4}}{0{,}0011035}=0{,}8395\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calculo o número de Reynolds para saber o regime de escoamento:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}.
Substituindo V=0{,}8395\\ \mathrm{m/s}, D=0{,}0375\\ \mathrm{m} e \nu=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}:
\mathrm{Re}=\frac{0{,}8395\cdot 0{,}0375}{1\times10^{-6}}=3{,}148\times10^{4}.
Como \mathrm{Re}\approx 3{,}15\times10^{4}, o escoamento é turbulento.

Passo 5

Para calcular a perda por atrito usamos a chamada “equação universal” (forma de Darcy–Weisbach):
h_{f}=f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^{2}}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Precisamos estimar f. Como o escoamento é turbulento, uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação conveniente da equação implícita de Colebrook):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}
Explico as variáveis: \varepsilon é a rugosidade absoluta da parede (m), D o diâmetro (m) e \mathrm{Re} o número de Reynolds. Para tubos plásticos (polietileno) adotamos uma rugosidade típica \varepsilon\approx 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (valor usual em cálculo prático para PE/PVC).
Calculo os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{1{,}5\times10^{-6}}{3{,}7\cdot 0{,}0375}=1{,}0805\times10^{-5},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(3{,}148\times10^{4})^{0{,}9}}=5{,}108\times10^{-4}.
Somando e aplicando a fórmula:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}(5{,}216\times10^{-4})\right]^{2}} \approx 0{,}02319.

Passo 6

Com f em mãos, calculo h_{f}. Primeiro calculo V^{2}/(2g):
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(0{,}8395)^{2}}{2\cdot 9{,}81}=0{,}03594\\ \mathrm{m}.
E L/D:
\frac{L}{D}=\frac{550}{0{,}0375}=14666{,}67.
Agora:
h_{f}=0{,}02319\cdot 14666{,}67\cdot 0{,}03594=12{,}22\\ \mathrm{m}.
Portanto a perda de carga contínua ao longo da tubulação é aproximadamente \,12{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 7

A cabeça (pressão em mca) que a bomba precisa fornecer corresponde à soma da diferença de cota mais perdas (e, opcionalmente, a cabeça de velocidade se quisermos ser rigorosos). Assim:
H_{\text{bomba}}=\Delta z + h_{f} + \frac{V^{2}}{2g}.
Substituindo \Delta z=53\\ \mathrm{m}, h_{f}=12{,}22\\ \mathrm{m} e \dfrac{V^{2}}{2g}=0{,}03594\\ \mathrm{m}:
H_{\text{bomba}}=53 + 12{,}22 + 0{,}03594 = 65{,}256\\ \mathrm{m}.
Arredondando para uma cifra conveniente em mca (e considerando incertezas na rugosidade), obtemos aproximadamente 65{,}3\\ \mathrm{m}, o que corresponde à alternativa mais próxima: 66\\ \mathrm{mca}.

Passo 8

Resumo interpretativo e motivação da escolha: a perda contínua é relativamente pequena (≈12 m) porque o diâmetro é pequeno mas a velocidade também não é enorme; a maior parcela do trabalho da bomba é vencer a elevação de 53\\ \mathrm{m}. Somando elevação + perdas chegamos ao valor final próximo de 65{,}3\\ \mathrm{m}, que leva à alternativa correta dentre as dadas.

Resposta

Perda de carga contínua h_{f}\approx 12{,}2\\ \mathrm{m}.
Pressão (cabeça) que a bomba deve fornecer H_{\text{bomba}}\approx 65{,}3\\ \mathrm{m} (aproximadamente 66\\ \mathrm{mca} — alternativa e).

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