Um fluido de densidade de 3,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} escoa incompressivelmente em uma tubulação, indo da região 1 até a região 2 , que se encontra a 7 m de altura. Sabendo-se que o valor absoluto da razão entre a vazão e área da região 1 vale 5 em unidades de SI. Considerando que a pressão na região 1 vale 3 \times 10^{6} \mathrm{~Pa} e na região 2 é 3 vezes menor. Determine a velocidadea da região 2 . ( R=31,56 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Densidade do fluido: \rho = 3{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Diferença de altura entre as regiões: z_2 - z_1 = 7\\ \mathrm{m} (a região 2 está 7\\ \mathrm{m} acima da região 1).
    • Valor absoluto da razão entre vazão e área na região 1: \left|\dfrac{Q}{A_1}\right| = 5 (unidades SI).
    • Pressão na região 1: p_1 = 3\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Pressão na região 2: p_2 é três vezes menor que p_1 (ou seja, p_2 = \dfrac{p_1}{3}).
    • O escoamento é incompressível.
  • O que se pede:
    • Determinar a velocidade na região 2, v_2.

Passo 2

Converter unidades e identificar quantidades úteis para o cálculo.
  • Converter a densidade para \mathrm{kg/m^{3}}. Sabendo que 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
    \rho = 3{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 3{,}6\times 1000 = 3600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A razão \dfrac{Q}{A_1} tem dimensão de velocidade média em 1, portanto
    v_1 = \left|\dfrac{Q}{A_1}\right| = 5\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão em 2:
    p_2 = \frac{p_1}{3} = \frac{3\times10^{6}}{3} = 1\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Para a gravidade, usarei g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Apresentar e explicar a ferramenta física a usar (fórmula e significado das variáveis).
  • Para escoamento incompressível, não viscoso em regime estacionário, entre dois pontos ao longo da mesma linha de corrente vale a equação de Bernoulli (conservação de energia por unidade de volume):
    p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante}.
    Onde:
    • p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
    • \rho é a densidade (em \mathrm{kg/m^{3}}),
    • v é a velocidade do fluido (em \mathrm{m/s}),
    • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
    • z é a cota/altura (em \mathrm{m}).
  • Aplicando entre a região 1 e a região 2:
    p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g z_2.

Passo 4

Isolar v_2 na equação de Bernoulli (álgebra).
  • Subtrair os termos do lado direito e reorganizar para obter v_2^{2}: \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} = \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + (p_1 - p_2) + \rho g (z_1 - z_2).
  • Multiplicando por 2/\rho: v_2^{2} = v_1^{2} + \frac{2}{\rho}(p_1 - p_2) + 2g(z_1 - z_2).Observação: z_1 - z_2 = - (z_2 - z_1) = -7\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos passo a passo e calcular os termos:
  • Diferença de pressão:
    p_1 - p_2 = 3\times10^{6} - 1\times10^{6} = 2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Primeiro termo: v_1^{2}
    v_1^{2} = 5^{2} = 25\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Segundo termo: \dfrac{2}{\rho}(p_1 - p_2)
    \frac{2}{\rho}(p_1 - p_2) = \frac{2\cdot 2\times10^{6}}{3600} = \frac{4\times10^{6}}{3600} = 1111{,}111\ldots\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Terceiro termo: 2g(z_1 - z_2)
    2g(z_1 - z_2) = 2\cdot 9{,}81 \cdot (-7) = -137{,}34\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Somando os termos para obter v_2^{2}:
    v_2^{2} = 25 + 1111{,}111\ldots - 137{,}34 = 998{,}771\ldots\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 6

Interpretação do resultado antes de extrair a raiz quadrada.
  • O valor de v_2^{2} é positivo, o que indica uma velocidade real e física. Agora basta extrair a raiz quadrada para obter v_2.

Resposta

v_2 \approx 31{,}59\\ \mathrm{m/s}

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