Um fluido de densidade de 3,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} escoa incompressivelmente em uma tubulação, indo da região 1 até a região 2 , que se encontra a 7 m de altura. Sabendo-se que o valor absoluto da razão entre a vazão e área da região 1 vale 5 em unidades de SI. Considerando que a pressão na região 1 vale 3 \times 10^{6} \mathrm{~Pa} e na região 2 é 3 vezes menor. Determine a velocidadea da região 2 . ( R=31,56 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Densidade do fluido: \rho = 3{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Diferença de altura entre as regiões: z_2 - z_1 = 7\\ \mathrm{m} (a região 2 está 7\\ \mathrm{m} acima da região 1).
Valor absoluto da razão entre vazão e área na região 1: \left|\dfrac{Q}{A_1}\right| = 5 (unidades SI).
Pressão na região 1: p_1 = 3\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Pressão na região 2: p_2 é três vezes menor que p_1 (ou seja, p_2 = \dfrac{p_1}{3}).
O escoamento é incompressível.
O que se pede:
Determinar a velocidade na região 2, v_2.
Passo 2
Converter unidades e identificar quantidades úteis para o cálculo.
Converter a densidade para \mathrm{kg/m^{3}}. Sabendo que 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},
Para a gravidade, usarei g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Passo 3
Apresentar e explicar a ferramenta física a usar (fórmula e significado das variáveis).
Para escoamento incompressível, não viscoso em regime estacionário, entre dois pontos ao longo da mesma linha de corrente vale a equação de Bernoulli (conservação de energia por unidade de volume):
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante}.
Onde:
p é a pressão (em \mathrm{Pa}),
\rho é a densidade (em \mathrm{kg/m^{3}}),
v é a velocidade do fluido (em \mathrm{m/s}),
g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
z é a cota/altura (em \mathrm{m}).
Aplicando entre a região 1 e a região 2:
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g z_2.
Passo 4
Isolar v_2 na equação de Bernoulli (álgebra).
Subtrair os termos do lado direito e reorganizar para obter v_2^{2}:\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} = \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + (p_1 - p_2) + \rho g (z_1 - z_2).