A temperatura do corpo humano é
. Se ele for resfriado até
ocorre a morte por hipotermia. Suponha que um homem de 100 Kg seja feito inteiramente de água (
C)). a) Quanto calor ele perderia se fosse resfriado até morrer por hipotermia ? Dê a resposta em Joule, usando 1 cal
J. b) Suponha que este mesmo homem seja aproximado por um cilindro de altura
metros e tenha parede interna de raio
e uma pele de 1 mm de espessura. A constante de condutividade térmica da pele humana é
. Se o homem for colocado num ambiente a
de temperatura, quanto tempo ele sobrevive?
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Temperatura inicial do corpo:
. - Temperatura de morte por hipotermia:
. - Massa do homem:
. - Suposição: o corpo é inteiramente água com calor específico
. - Conversão pedida no enunciado: usar
. - Aprox. geométrica do homem: cilindro de altura
, raio interno da “pele” , espessura da pele . - Condutividade térmica da pele:
. - Temperatura ambiente:
.
- Temperatura inicial do corpo:
-
O que é pedido:
a) Calor perdido para resfriamento deaté , em Joules.
b) Supondo o corpo como o cilindro acima com pele de espessurae condutividade , estimar quanto tempo leva para a temperatura do corpo cair de para quando exposto a .
Passo 2
(a) Conceito e fórmula para calor sensível — visão didática curta.
- A fórmula básica para calor necessário para mudar a temperatura de um corpo é
onde:
-
é o calor trocado (positivo se absorvido, negativo se perdido); -
é a massa (em kg ou g, desde que esteja compatível); -
é o calor específico (energia por unidade de massa por grau); -
é a variação de temperatura . -
Neste problema:
, , e (o módulo é ).
Passo 3
Cálculo numérico do item (a) e conversão para Joules (passo a passo).
- Primeiro em calorias:
- Converter usando
(instrução do enunciado):
Portanto, o corpo perderia
ao resfriar de
para
.
Passo 4
(b) Modelo físico para estimar o tempo de resfriamento — explicação didática.
- Ideia física: a pele é a camada que oferece resistência ao fluxo de calor radial. Aproximamos o corpo por um cilindro homogêneo com temperatura interna praticamente uniforme
(modelo de capacitância térmica lumped) e com troca de calor radial através da pele, que tem resistência térmica por condução. A taxa de perda de energia é dada por uma lei análoga à lei de Ohm térmica:
onde
é a potência térmica (W) e
é a resistência térmica da pele.
- Para uma casca cilíndrica (condução radial) com raio interno
, raio externo , altura e condutividade , a resistência térmica por condução é
Breve explicação do que cada símbolo significa:
-
é o raio interno (lado quente), é o raio externo (lado frio), -
é a condutividade térmica (quanto maior, mais fácil conduzir), -
é a altura do cilindro (área efetiva de troca proporcional a ). -
Equilíbrio energético (capacitância térmica do corpo):
Isto é uma ODE linear de primeiro ordem cuja solução é exponencial.
Passo 5
Aplicar os dados geométricos e calcular
.
- Raio externo:
- Altura:
- Calcular
. Pode usar aproximação para pequeno , mas aqui calculamos diretamente:
- Agora a resistência térmica:
Simplificando
, temos
Passo 6
Resolver a ODE e calcular o tempo pedido (passo a passo).
- A ODE escrita é
Colocando em forma padrão:
- A solução (exponencial) é
onde a constante de tempo térmica é
- Calcular
em unidades SI com a conversão indicada: . Logo
- Constante de tempo:
- Queremos o tempo
tal que . Note que
Da solução exponencial:
Tomando logaritmo natural:
- Avaliando numericamente:
Portanto, segundo este modelo simplificado (condução radial através da pele sendo o gargalo), a temperatura do corpo cairia de
para
em aproximadamente
.
Passo 7
Comentários finais, lembrando as hipóteses (curta e direta, encorajamento).
- Hipóteses que foram usadas e que tornam o resultado muito idealizado:
- Corpo inteiro é água homogênea (não é na realidade).
- Troca de calor considerada só por condução através da pele (ignorou convecção, radiação, metabolismo interno, isolamento de roupas, sangue, etc.).
- Temperatura interna tratada como uniforme (modelo lumped).
- O número obtido (
) é uma estimativa do modelo simplificado; na prática, devido a metabolismo e outras resistências (convecção, roupa), o tempo real seria bem maior. Mesmo assim, o exercício treina bem as ideias de resistência térmica e constante de tempo térmica — parabéns por enfrentar este tipo de problema, você está indo bem!
Resposta
(a)
(b)
(b)