A temperatura do corpo humano é 36{ }^{\circ} \mathrm{C}. Se ele for resfriado até 26^{\circ} \mathrm{C} ocorre a morte por hipotermia. Suponha que um homem de 100 Kg seja feito inteiramente de água ( \mathrm{c}=1 \mathrm{cal} /(\mathrm{g} { }^{0} C)). a) Quanto calor ele perderia se fosse resfriado até morrer por hipotermia ? Dê a resposta em Joule, usando 1 cal =4 J. b) Suponha que este mesmo homem seja aproximado por um cilindro de altura 5 / \pi metros e tenha parede interna de raio r_{1}=0.4 \mathrm{~m} e uma pele de 1 mm de espessura. A constante de condutividade térmica da pele humana é k=1 W /(m K). Se o homem for colocado num ambiente a -64^{0} \mathrm{C} de temperatura, quanto tempo ele sobrevive?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Temperatura inicial do corpo: \,T_i=36{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de morte por hipotermia: \,T_f=26{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Massa do homem: \,m=100\\ \mathrm{kg}.
    • Suposição: o corpo é inteiramente água com calor específico \,c=1\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}).
    • Conversão pedida no enunciado: usar 1\\ \mathrm{cal}=4\\ \mathrm{J}.
    • Aprox. geométrica do homem: cilindro de altura \,H=\dfrac{5}{\pi}\\ \mathrm{m}, raio interno da “pele” \,r_1=0,4\\ \mathrm{m}, espessura da pele \,t=1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica da pele: \,k=1\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}).
    • Temperatura ambiente: \,T_{\mathrm{amb}}=-64{ }^\circ\mathrm{C}.
  • O que é pedido:
    a) Calor perdido para resfriamento de \,36{ }^\circ\mathrm{C} até \,26{ }^\circ\mathrm{C}, em Joules.
    b) Supondo o corpo como o cilindro acima com pele de espessura \,t e condutividade \,k, estimar quanto tempo leva para a temperatura do corpo cair de \,36{ }^\circ\mathrm{C} para \,26{ }^\circ\mathrm{C} quando exposto a \,-64{ }^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

(a) Conceito e fórmula para calor sensível — visão didática curta.
  • A fórmula básica para calor necessário para mudar a temperatura de um corpo é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor trocado (positivo se absorvido, negativo se perdido);
  • m é a massa (em kg ou g, desde que c esteja compatível);
  • c é o calor específico (energia por unidade de massa por grau);
  • \Delta T é a variação de temperatura \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • Neste problema: m=100\\ \mathrm{kg}=100000\\ \mathrm{g}, c=1\\ \mathrm{cal}/(\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}), e \Delta T=26-36=-10\\ ^\circ\mathrm{C} (o módulo é 10\\ ^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Cálculo numérico do item (a) e conversão para Joules (passo a passo).
  • Primeiro em calorias:
Q = 100000\\ \mathrm{g}\times 1\\ \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\,^\circ\mathrm{C}}\times 10\\ ^\circ\mathrm{C}=1{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{cal}.
  • Converter usando 1\\ \mathrm{cal}=4\\ \mathrm{J} (instrução do enunciado):
Q = 1{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{cal}\times 4\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} = 4{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{J}.
Portanto, o corpo perderia \,4{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{J} ao resfriar de \,36{ }^\circ\mathrm{C} para \,26{ }^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

(b) Modelo físico para estimar o tempo de resfriamento — explicação didática.
  • Ideia física: a pele é a camada que oferece resistência ao fluxo de calor radial. Aproximamos o corpo por um cilindro homogêneo com temperatura interna praticamente uniforme T(t) (modelo de capacitância térmica lumped) e com troca de calor radial através da pele, que tem resistência térmica por condução. A taxa de perda de energia é dada por uma lei análoga à lei de Ohm térmica:
\dot Q(t)=\frac{T(t)-T_{\mathrm{amb}}}{R_{\mathrm{th}}},
onde \dot Q é a potência térmica (W) e R_{\mathrm{th}} é a resistência térmica da pele.
  • Para uma casca cilíndrica (condução radial) com raio interno r_1, raio externo r_2, altura H e condutividade k, a resistência térmica por condução é
R_{\mathrm{th}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k H}.
Breve explicação do que cada símbolo significa:
  • r_1 é o raio interno (lado quente), r_2 é o raio externo (lado frio),
  • k é a condutividade térmica (quanto maior, mais fácil conduzir),
  • H é a altura do cilindro (área efetiva de troca proporcional a H).
  • Equilíbrio energético (capacitância térmica do corpo):
m c \frac{dT}{dt} = -\dot Q(t) = -\frac{T(t)-T_{\mathrm{amb}}}{R_{\mathrm{th}}}.
Isto é uma ODE linear de primeiro ordem cuja solução é exponencial.

Passo 5

Aplicar os dados geométricos e calcular R_{\mathrm{th}}.
  • Raio externo:
r_2 = r_1 + t = 0{,}4\\ \mathrm{m} + 0{,}001\\ \mathrm{m} = 0{,}401\\ \mathrm{m}.
  • Altura:
H=\frac{5}{\pi}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \ln(r_2/r_1). Pode usar aproximação para pequeno t, mas aqui calculamos diretamente:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}401}{0{,}4}\right)=\ln(1{,}0025)\approx 0{,}00249688.
  • Agora a resistência térmica:
R_{\mathrm{th}}=\frac{0{,}00249688}{2\pi\cdot 1\\ \mathrm{W/(mK)}\cdot \dfrac{5}{\pi}}.
Simplificando 2\pi\cdot \dfrac{5}{\pi}=10, temos
R_{\mathrm{th}}=\frac{0{,}00249688}{10}=0{,}000249688\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Resolver a ODE e calcular o tempo pedido (passo a passo).
  • A ODE escrita é
m c \frac{dT}{dt} = -\frac{T-T_{\mathrm{amb}}}{R_{\mathrm{th}}}.
Colocando em forma padrão:
\frac{dT}{dt} = -\frac{1}{m c R_{\mathrm{th}}}\,(T-T_{\mathrm{amb}}).
  • A solução (exponencial) é
T(t)-T_{\mathrm{amb}} = (T_i-T_{\mathrm{amb}})\,e^{-t/\tau},
onde a constante de tempo térmica é
\tau = m c R_{\mathrm{th}}.
  • Calcular m c em unidades SI com a conversão indicada: c=1\\ \mathrm{cal/(g\,^\circ C)}=4\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}=4000\\ \mathrm{J/(kg\,K)}. Logo
m c = 100\\ \mathrm{kg}\times 4000\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\,K}}=4{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{J/K}.
  • Constante de tempo:
\tau = 4{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{J/K}\times 0{,}000249688\\ \mathrm{K/W}\approx 99{,}875\\ \mathrm{s}.
  • Queremos o tempo t tal que T(t)=26{ }^\circ\mathrm{C}. Note que
T_i-T_{\mathrm{amb}}=36-(-64)=100\\ \mathrm{K}, \qquad T(t)-T_{\mathrm{amb}}=26-(-64)=90\\ \mathrm{K}.
Da solução exponencial:
90 = 100 \, e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=0{,}9.
Tomando logaritmo natural:
-t/\tau = \ln(0{,}9)\quad\Rightarrow\quad t = -\tau\ln(0{,}9).
  • Avaliando numericamente:
-\ln(0{,}9)\approx 0{,}1053605,
t \approx 99{,}875\\ \mathrm{s}\times 0{,}1053605\approx 10{,}52\\ \mathrm{s}.
Portanto, segundo este modelo simplificado (condução radial através da pele sendo o gargalo), a temperatura do corpo cairia de \,36{ }^\circ\mathrm{C} para \,26{ }^\circ\mathrm{C} em aproximadamente \,10{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Comentários finais, lembrando as hipóteses (curta e direta, encorajamento).
  • Hipóteses que foram usadas e que tornam o resultado muito idealizado:
    • Corpo inteiro é água homogênea (não é na realidade).
    • Troca de calor considerada só por condução através da pele (ignorou convecção, radiação, metabolismo interno, isolamento de roupas, sangue, etc.).
    • Temperatura interna tratada como uniforme (modelo lumped).
  • O número obtido ( \sim 10{,}5\\ \mathrm{s}) é uma estimativa do modelo simplificado; na prática, devido a metabolismo e outras resistências (convecção, roupa), o tempo real seria bem maior. Mesmo assim, o exercício treina bem as ideias de resistência térmica e constante de tempo térmica — parabéns por enfrentar este tipo de problema, você está indo bem!

Resposta

(a) 4{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{J}
(b) t\approx 10{,}5\\ \mathrm{s}

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