Uma barra rígida de comprimento
está apoiada no canto de uma sala. A extremidade
desliza pela parede (eixo
) e a extremidade
desliza pelo solo (eixo
). O centro da barra é
. No instante considerado, a barra faz ângulo
com o eixo
. Sabendo que o ponto
move-se para a direita com velocidade constante
, determine o módulo da aceleração do ponto
em função de
. Despreze atrito.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá uma barra rígida de comprimento
com uma extremidade
deslizando pela parede (eixo
) e a outra extremidade
deslizando pelo chão (eixo
). No instante considerado a barra forma um ângulo
com o eixo
. É informado que o ponto
desloca-se para a direita com velocidade constante
. A pergunta é: determinar o módulo da aceleração do centro
da barra em função de
.
Informações relevantes:
- Comprimento da barra:
. - Coordenadas das extremidades:
e . - Restrição geométrica: a barra é rígida, logo
- Velocidade de
(para a direita): e (velocidade constante). - O centro da barra tem coordenadas
O objetivo é achar o módulo da aceleração
(isto é,
) em função de
.
Passo 2
Vamos relacionar velocidades usando a restrição
. Diferenciando em relação ao tempo
obtemos (esta é a regra da derivada de uma soma e da regra da cadeia):
Dividindo por
e isolando
dá
Como o enunciado diz que
(positivo, para a direita), temos
Aqui
é a velocidade vertical de
(e do extremo correspondente), negativa quando
e
são positivos (pois a altura diminui quando
abre para a direita).
Passo 3
Queremos a aceleração do centro
. Primeiro vamos obter as acelerações
e
. Sabemos que
porque
é constante. Diferenciando novamente a equação da restrição:
Dividindo por
e substituindo
resulta
Isolando
,
Passo 4
Substituímos agora
e
na expressão para
. Primeiro calcule
:
Logo o numerador
fica
Usando a restrição
obtemos
Portanto
Passo 5
Agora a aceleração do centro
é metade da aceleração do extremo correspondente, porque
. Assim
Como
, a aceleração do centro é puramente vertical e vale
O módulo (valor absoluto) da aceleração é
Passo 6
Finalmente expressamos
em função do ângulo
. Se a barra faz ângulo
com o eixo
, então as coordenadas das extremidades são
Substituindo
na expressão anterior: