Uma barra rígida de comprimento L está apoiada no canto de uma sala. A extremidade A desliza pela parede (eixo y ) e a extremidade B desliza pelo solo (eixo x ). O centro da barra é C. No instante considerado, a barra faz ângulo \alpha com o eixo x. Sabendo que o ponto B move-se para a direita com velocidade constante v, determine o módulo da aceleração do ponto C em função de \alpha. Despreze atrito.
(a) \frac{v^{2}}{L \operatorname{sen} \alpha}
(b) \frac{v^{2}}{2 L \operatorname{sen}^{3} \alpha}
(c) \frac{2 v^{2}}{L \operatorname{sen}^{2} \alpha}
(d) \frac{2 v^{2}}{L \operatorname{sen} \alpha}
(e) \frac{2 v^{2}}{L \operatorname{sen}^{3} \alpha}

Passo 1

O enunciado dá uma barra rígida de comprimento L com uma extremidade A deslizando pela parede (eixo y) e a outra extremidade B deslizando pelo chão (eixo x). No instante considerado a barra forma um ângulo \alpha com o eixo x. É informado que o ponto B desloca-se para a direita com velocidade constante v. A pergunta é: determinar o módulo da aceleração do centro C da barra em função de \alpha.
Informações relevantes:
  • Comprimento da barra: L.
  • Coordenadas das extremidades: A=(0,y) e B=(x,0).
  • Restrição geométrica: a barra é rígida, logo
x^{2}+y^{2}=L^{2}.
  • Velocidade de B (para a direita): \dot{x}=v e \ddot{x}=0 (velocidade constante).
  • O centro da barra tem coordenadas
C=\Big(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2}\Big).
O objetivo é achar o módulo da aceleração \mathbf{a}_C (isto é, |\mathbf{a}_C|) em função de \alpha.

Passo 2

Vamos relacionar velocidades usando a restrição x^{2}+y^{2}=L^{2}. Diferenciando em relação ao tempo t obtemos (esta é a regra da derivada de uma soma e da regra da cadeia):
2x\dot{x}+2y\dot{y}=0.
Dividindo por 2 e isolando \dot{y}
\dot{y}=-\frac{x}{y}\,\dot{x}.
Como o enunciado diz que \dot{x}=v (positivo, para a direita), temos
\dot{y}=-\frac{x}{y}\,v.
Aqui \dot{y} é a velocidade vertical de A (e do extremo correspondente), negativa quando x e v são positivos (pois a altura diminui quando B abre para a direita).

Passo 3

Queremos a aceleração do centro C. Primeiro vamos obter as acelerações \ddot{x} e \ddot{y}. Sabemos que \ddot{x}=0 porque \dot{x}=v é constante. Diferenciando novamente a equação da restrição:
2\dot{x}^{2}+2x\ddot{x}+2\dot{y}^{2}+2y\ddot{y}=0.
Dividindo por 2 e substituindo \ddot{x}=0 resulta
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+y\ddot{y}=0.
Isolando \ddot{y},
\ddot{y}=-\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{y}.

Passo 4

Substituímos agora \dot{x}=v e \dot{y}=-\dfrac{x}{y}v na expressão para \ddot{y}. Primeiro calcule \dot{y}^{2}:
\dot{y}^{2}=\left(-\frac{x}{y}v\right)^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}\,v^{2}.
Logo o numerador \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} fica
v^{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}}\,v^{2}=v^{2}\!\left(1+\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)=v^{2}\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}.
Usando a restrição x^{2}+y^{2}=L^{2} obtemos
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}=v^{2}\frac{L^{2}}{y^{2}}.
Portanto
\ddot{y}=-\frac{v^{2}L^{2}}{y^{3}}.

Passo 5

Agora a aceleração do centro C é metade da aceleração do extremo correspondente, porque C=(x/2,y/2). Assim
\mathbf{a}_C=\Big(\tfrac{\ddot{x}}{2},\tfrac{\ddot{y}}{2}\Big).
Como \ddot{x}=0, a aceleração do centro é puramente vertical e vale
\mathbf{a}_C=\Big(0,\tfrac{\ddot{y}}{2}\Big).
O módulo (valor absoluto) da aceleração é
|\mathbf{a}_C|=\frac{|\ddot{y}|}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}L^{2}}{y^{3}}=\frac{v^{2}L^{2}}{2y^{3}}.

Passo 6

Finalmente expressamos y em função do ângulo \alpha. Se a barra faz ângulo \alpha com o eixo x, então as coordenadas das extremidades são
x=L\cos\alpha,\qquad y=L\sin\alpha.
Substituindo y=L\sin\alpha na expressão anterior:
|\mathbf{a}_C|=\frac{v^{2}L^{2}}{2\big(L\sin\alpha\big)^{3}}=\frac{v^{2}L^{2}}{2L^{3}\sin^{3}\alpha}=\frac{v^{2}}{2L\sin^{3}\alpha}.

Resposta

\dfrac{v^{2}}{2L\sin^{3}\alpha}

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