Um homem desce uma escada rolante caminhando e leva 1 minuto para chegar ao final. Quando ele dobra sua velocidade de caminhada, o tempo de descida passa a ser de 40 segundos. Determine quanto tempo ele levaria para descer a escada se permanecesse parado, sendo levado apenas pelo movimento da escada.
(a) 90 s
(b) 120 s
(c) 150 s
(d) 180 s
(e) 210 s

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Um homem desce uma escada rolante caminhando e leva 1\\ \text{min}, ou seja 60\\ \text{s}.
  • Quando ele dobra sua velocidade de caminhada, o tempo passa a ser 40\\ \text{s}.
  • Pergunta: quanto tempo ele levaria se permanecesse parado (isto é, se sua velocidade de caminhada fosse zero), sendo levado apenas pelo movimento da escada?
Informações relevantes (já convertidas para as mesmas unidades):
  • Tempo com velocidade normal: t_1 = 60\\ \text{s}.
  • Tempo com velocidade dobrada: t_2 = 40\\ \text{s}.

Passo 2

Modelagem e definição de variáveis (explicando o raciocínio passo a passo):
  • Vou medir o comprimento da escada em “passos” (ou em qualquer unidade de comprimento fixa) e chamá-lo de L. Isso é só uma medida da distância a percorrer.
  • Chamo de v_m a velocidade do homem em relação à escada (em passos por segundo). Explicação: se o homem anda sobre os degraus, v_m é quantos degraus por segundo ele “cobre” caminhando sozinho.
  • Chamo de v_e a velocidade da escada rolante (em passos por segundo). Explicação: a escada também está se movimentando; ela “incha” o número de degraus que passam por segundo.
  • Quando o homem anda para baixo, as velocidades se somam: a velocidade efetiva em relação ao chão é v_m + v_e.
  • O tempo necessário para percorrer a escada é distância dividido pela velocidade efetiva. Assim: L = (v_m + v_e)\,t_1e, quando ele dobra sua velocidade (ou seja, 2v_m), L = (2v_m + v_e)\,t_2.
Essas duas equações relacionam L, v_m e v_e.

Passo 3

Colocar as equações com os valores de tempo e igualar para eliminar L:
  • Substituindo t_1 e t_2, L = (v_m + v_e)\cdot 60
L = (2v_m + v_e)\cdot 40
  • Como ambas valem L, igualo os dois lados: (v_m + v_e)\cdot 60 = (2v_m + v_e)\cdot 40.
Agora desenvolvo essa igualdade passo a passo:
60v_m + 60v_e = 80v_m + 40v_e.
Passo os termos com v_m para um lado e com v_e para o outro:
60v_e - 40v_e = 80v_m - 60v_m.
20v_e = 20v_m.
Dividindo ambos os lados por 20:
v_e = v_m.
Interpretação: a escada move-se com a mesma velocidade (em degraus/segundo) que o homem caminha sobre ela.

Passo 4

Encontrar L em função de v_m e o tempo quando o homem ficar parado:
  • Use uma das equações para achar L. Por exemplo, L = (v_m + v_e)\cdot 60.
Como v_e = v_m, temos
L = (v_m + v_m)\cdot 60 = 2v_m\cdot 60 = 120\,v_m.
  • Se o homem ficar parado, sua velocidade relativa à escada é 0, e a única velocidade que leva-o ao chão é v_e. O tempo t_0 nesse caso é t_0 = \frac{L}{v_e}.
Substituindo L = 120\,v_m e v_e = v_m,
t_0 = \frac{120\,v_m}{v_m} = 120\\ \text{s}.

Passo 5

Cheque rápido de consistência (intuição que confirma o cálculo):
  • Como v_e = v_m, quando o homem anda normalmente a velocidade total é 2v_m e o tempo é 60\\ \text{s}.
  • Se ele dobra a caminhada, a velocidade total é 3v_m. Tempo relativo entre os casos é inverso das velocidades: 60\cdot \tfrac{2}{3}=40\\ \text{s}, que bate com o enunciado. Portanto o resultado t_0=120\\ \text{s} é consistente.

Resposta

(b) 120\\ \text{s}

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