Um homem desce uma escada rolante caminhando e leva 1 minuto para chegar ao final. Quando ele dobra sua velocidade de caminhada, o tempo de descida passa a ser de 40 segundos. Determine quanto tempo ele levaria para descer a escada se permanecesse parado, sendo levado apenas pelo movimento da escada.
(a) 90 s
(b) 120 s
(c) 150 s
(d) 180 s
(e) 210 s
(a) 90 s
(b) 120 s
(c) 150 s
(d) 180 s
(e) 210 s
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Um homem desce uma escada rolante caminhando e leva
, ou seja . - Quando ele dobra sua velocidade de caminhada, o tempo passa a ser
. - Pergunta: quanto tempo ele levaria se permanecesse parado (isto é, se sua velocidade de caminhada fosse zero), sendo levado apenas pelo movimento da escada?
Informações relevantes (já convertidas para as mesmas unidades):
- Tempo com velocidade normal:
. - Tempo com velocidade dobrada:
.
Passo 2
Modelagem e definição de variáveis (explicando o raciocínio passo a passo):
- Vou medir o comprimento da escada em “passos” (ou em qualquer unidade de comprimento fixa) e chamá-lo de
. Isso é só uma medida da distância a percorrer. - Chamo de
a velocidade do homem em relação à escada (em passos por segundo). Explicação: se o homem anda sobre os degraus, é quantos degraus por segundo ele “cobre” caminhando sozinho. - Chamo de
a velocidade da escada rolante (em passos por segundo). Explicação: a escada também está se movimentando; ela “incha” o número de degraus que passam por segundo. - Quando o homem anda para baixo, as velocidades se somam: a velocidade efetiva em relação ao chão é
. - O tempo necessário para percorrer a escada é distância dividido pela velocidade efetiva. Assim:
e, quando ele dobra sua velocidade (ou seja, ),
Essas duas equações relacionam
,
e
.
Passo 3
Colocar as equações com os valores de tempo e igualar para eliminar
:
- Substituindo
e ,
- Como ambas valem
, igualo os dois lados:
Agora desenvolvo essa igualdade passo a passo:
Passo os termos com
para um lado e com
para o outro:
Dividindo ambos os lados por
:
Interpretação: a escada move-se com a mesma velocidade (em degraus/segundo) que o homem caminha sobre ela.
Passo 4
Encontrar
em função de
e o tempo quando o homem ficar parado:
- Use uma das equações para achar
. Por exemplo,
Como
, temos
- Se o homem ficar parado, sua velocidade relativa à escada é
, e a única velocidade que leva-o ao chão é . O tempo nesse caso é
Substituindo
e
,
Passo 5
Cheque rápido de consistência (intuição que confirma o cálculo):
- Como
, quando o homem anda normalmente a velocidade total é e o tempo é . - Se ele dobra a caminhada, a velocidade total é
. Tempo relativo entre os casos é inverso das velocidades: , que bate com o enunciado. Portanto o resultado é consistente.
Resposta
(b)