Uma barra rígida de peso
está pendurada em três fios verticais igualmente espaçados (
): dois de aço e um de alumínio. O diâmetro dos fios de aço é 2 mm e o do fio de alumínio é 4 mm . Os módulos de elasticidade do aço e do alumínio são 210 GPa e 70 Gpa, respectivamente. (a) Qual a maior carga P pode ser aplicada no ponto médio da barra (
), se a tensão admissível nos fios de aço for 220 MPa e no fio de alumínio for 80 MPa ? (b) E se estiver aplicada em
?
Resposta
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado e da figura):
- Dados geométricos e materiais:
- Comprimento dos fios:
. - Distância entre fios:
(os fios estão em posições ao longo da barra). - Dois fios de aço (esquerdo e direito): diâmetro
. - Um fio de alumínio (central): diâmetro
. - Módulos de elasticidade:
e . - Peso da barra (aplicado no centro):
.
- Comprimento dos fios:
- Tensão admissível (limite máximo de tensão nos fios):
- Aço:
. - Alumínio:
.
- Aço:
- Local de aplicação da carga concentrada
: - Parte (a):
. - Parte (b):
.
- Parte (a):
- O que se pede:
- Para cada posição de
, determinar a maior carga que pode ser aplicada sem que nenhum fio exceda sua tensão admissível. Ou seja, encontrar o tal que para todos os fios .
- Para cada posição de
Observações úteis para a resolução (a lista acima resume tudo o que foi dado; a resolução começa no passo seguinte).
Passo 2
Modelagem física e relações fundamentais (equilíbrio estático + compatibilidade de deformações).
Explicação didática do modelo:
- A barra é rígida: isso significa que, quando as três barras verticais sofrerem pequenas deformações verticais, a barra só pode se deslocar verticalmente e rodar um pequeno ângulo
— ela não se deforma por flexão. Portanto, o deslocamento vertical do ponto de fixação (onde está cada fio) é da forma onde é o deslocamento vertical do ponto de referência (por exemplo, o centro da barra), é a coordenada horizontal do fio em relação ao mesmo ponto (no nosso caso para o fio esquerdo, para o fio central e para o fio direito), e é a pequena rotação da barra (adicione sinais conforme convenção). - Cada fio age como uma mola axial com rigidez
onde é a área da seção transversal do fio, seu módulo de elasticidade e seu comprimento. Assim, a força axial no fio é (Essa é a relação linear de Hooke para alongamento axial pequeno.) - Equilíbrios estáticos:
- Equilíbrio de forças verticais:
- Equilíbrio de momentos em relação ao centro da barra (momento causado por
deve ser equilibrado pelos momentos das reações): com , (O peso age no centro, portanto não produz momento em relação ao centro.)
- Equilíbrio de forças verticais:
Agora que entendemos o modelo, vamos escrever as equações e resolver para
e as forças
.
Passo 3
Cálculos das áreas, das rigidezes e das constantes numéricas (transformações de unidades e fórmulas usadas).
- Áreas das seções (usar unidades mm e N/mm^2 para números limpos; ao final as forças estarão em N):
- Módulos (em N/mm^2):
(porque ), . - Rigidezes axiais:
- Notar que as constantes adimensionais que aparecem com frequência são
Calculando:
(Observe
.)
- Tensões admissíveis convertidas em força admissível (os limites de força para cada fio):
Passo 4
Obter expressões para as forças em função de
(usando as equações do Passo 2).
Derivação (passo a passo):
- Escrevendo
e aplicando equilíbrio de forças: Portanto - Momento em torno do centro:
Logo
- Substituindo
e nas expressões , , obtém-se, após simplificação (note que , pois ):
onde lembramos
e
.
Comentário didático: essas fórmulas têm interpretação simples:
- A parte
mostra a parcela das cargas (peso + ) que iria para cada fio de aço se não houvesse rotação. - O termo
distribui o efeito do momento (causado por deslocado) entre os dois fios de aço (o fio do lado mais próximo de ganha força, o oposto perde força). - O fio central (alumínio) não participa no equilíbrio de momento (porque está no eixo de referência
), daí não ter termo com .
Passo 5
Aplicar as fórmulas para o caso (a):
. Calcular as forças e obter
por comparação com tensões admissíveis.
- Para
temos . Com e :
- Agora verificar qual fio atinge primeiro sua tensão admissível (comparamos forças absolutas com
e ): - Fio de aço (direito)
aumenta com ; exigir :
- Fio de aço (direito)
- Fio de alumínio
exige - Fio de aço esquerdo
diminui com ; seu valor absoluto só ultrapassaria o limite em muito grande (não crítico aqui). - Conclusão para (a): o fio de aço do lado de aplicação de
(fio direito) é o limitante e dá
Passo 6
Aplicar as fórmulas para o caso (b):
. Calcular as forças e obter
.
- Para
temos . Então:
- Verificação das condições admissíveis:
- Fio de aço direito (o maior valor entre os aços agora é
):
- Fio de aço direito (o maior valor entre os aços agora é
- Fio de alumínio:
(não limitante neste caso). - Conclusão para (b): o fio de aço direito é novamente o limitante e dá
Passo 7
Resumo numérico final e checagem rápida (motivação didática).
- Valores calculados das forças quando
alcança o limite: - Para (a) com
: (atinge o limite do aço), . - Para (b) com
: (atinge o limite do aço), .
- Para (a) com
- Interpretação rápida: como os fios de aço têm área pequena, eles são os primeiros a atingir o limite de tensão quando a carga
é aplicada deslocada para um dos lados; por isso o aço fixa o em ambos os casos.
Resposta
(a)
(b)