Uma barra de seção quadrada (10 \times 10 \mathrm{~cm}) e muito longa de liga de alumínio ( \mathrm{k}=180 \mathrm{W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \alpha=7.10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) é utilizada para dissipação de calor. A barra está inicialmente a 100^{\circ} \mathrm{C} e é resfriada por convecção natural a 25^{\circ} \mathrm{C} com \mathrm{h}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K} em suas faces laterais. Determine a temperatura no eixo central da barra após 5 minutos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Geometria da barra: seção quadrada com lado \,0{,}10\\ \mathrm{m}. Ou seja a área da seção é \,A = 0{,}10\cdot0{,}10 = 0{,}01\\ \mathrm{m}^2.
  • A barra é “muito longa” (portanto tratamos o problema por unidade de comprimento).
  • Condições iniciais e de contorno:
    • Temperatura inicial uniforme: \,T_i = 100^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do fluido ambiente: \,T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}.
    • Convecção natural nas faces laterais: \,h = 20\\ \mathrm{W/m^2\! \cdot K}.
  • Propriedades do material (liga de alumínio) fornecidas:
    • Condutividade térmica: \,k = 180\\ \mathrm{W/m\! \cdot K}.
    • Difusividade térmica: \,\alpha = 7\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Tempo pedido: \,t = 5\\ \text{min} = 300\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado pede: determinar a temperatura no eixo central da barra após \,t=300\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Decidir qual modelo usar — precisamos verificar se há gradientes internos de temperatura ou se a barra pode ser tratada como à temperatura uniforme (modelo de “lumped capacitance”).
  • Para aplicar o modelo de lumped capacitance usa-se o número de Biot: \mathrm{Bi} = \frac{h L_c}{k},onde L_c é o comprimento característico do corpo, definido por L_c = \frac{V}{A_s},em que V é o volume e A_s a área de superfície exposta (ambos por unidade de comprimento, já que a barra é muito longa).
Calculemos V e A_s por metro de comprimento:
  • Volume por metro: \,V = 0{,}10\cdot0{,}10\cdot1 = 0{,}01\\ \mathrm{m^3}.
  • Área de superfície lateral por metro (perímetro \times 1 m): \,A_s = 4\cdot0{,}10\cdot1 = 0{,}40\\ \mathrm{m^2}.
Então
L_c = \frac{V}{A_s} = \frac{0{,}01}{0{,}40} = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
Agora o número de Biot:
\mathrm{Bi} = \frac{h L_c}{k} = \frac{20\cdot 0{,}025}{180} = \frac{0{,}5}{180} \approx 0{,}00278.
Interpretação: como \mathrm{Bi} \ll 0{,}1, a resistência térmica interna por condução é muito pequena em comparação com a resistência por convecção na superfície. Logo, a temperatura dentro da seção transversefica praticamente uniforme ao longo do tempo. Portanto podemos usar o modelo de lumped capacitance: a temperatura no eixo central é igual à temperatura do sólido T(t) (não há gradiente significativo).

Passo 3

Apresentar e derivar a equação do modelo de lumped capacitance (aula rápida e prática).
  • Energia térmica armazenada no sólido por unidade de comprimento é \rho c V (T - T_\infty), onde:
    • \rho é a densidade do material ( \mathrm{kg/m^3}),
    • c é o calor específico ( \mathrm{J/kg\! \cdot K}),
    • V é o volume por unidade de comprimento ( \mathrm{m^3}),
    • T é a temperatura do sólido ( ^\circ\mathrm{C} ou K) e T_\infty a temperatura ambiente.
  • Fluxo de calor por convecção por unidade de comprimento é q = h A_s (T - T_\infty).
Equilibrando energia (primeira lei) e reorganizando chegamos à equação diferencial:
\rho c V \frac{dT}{dt} = - h A_s (T - T_\infty).
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem cuja solução, com condição inicial T(0)=T_i, é
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} = \exp\!\left(-\frac{h A_s}{\rho c V}\, t\right).
Explicando as variáveis nesta fórmula:
  • \,h é o coeficiente de convecção (dado),
  • \,A_s é a área de superfície exposta por unidade de comprimento (calculada),
  • \,\rho e \,c são propriedades do material que não foram fornecidas no enunciado; vamos usar valores típicos para alumínio: \rho = 2700\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad c = 900\\ \mathrm{J/kg\! \cdot K}.Observação: se a sua prova ou caderno der outros valores para \rho e c, basta substituir e recalcular; o procedimento é o mesmo.

Passo 4

Calcular os valores numéricos necessários.
Relembrando: por metro de comprimento
V = 0{,}01\\ \mathrm{m^3},\qquad A_s = 0{,}40\\ \mathrm{m^2}.
Calcule a constante exponencial
\beta \equiv \frac{h A_s}{\rho c V}.
Substituindo:
\beta = \frac{20\cdot 0{,}40}{2700\cdot 900\cdot 0{,}01}.
Simplificando \frac{0{,}40}{0{,}01}=40, obtemos
\beta = \frac{40\cdot 20}{2700\cdot 900} = \frac{800}{2\,430\,000}.
Agora o valor numérico:
\beta \approx 3{,}29218\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Tempo considerado: \,t=300\\ \mathrm{s}. Então o expoente é
\beta t \approx 3{,}29218\cdot 10^{-4}\times 300 \approx 0{,}098765.

Passo 5

Calcular a temperatura em t=300\\ \mathrm{s} usando a solução exponencial.
\frac{T(300)-T_\infty}{T_i - T_\infty} = \exp(-\beta t) = \exp(-0{,}098765) \approx 0{,}9060.
Como T_i - T_\infty = 100-25 = 75^\circ\mathrm{C}, temos
T(300) = T_\infty + (T_i - T_\infty)\exp(-\beta t) \approx 25 + 75\cdot 0{,}9060 \approx 25 + 67{,}95 \approx 92{,}95^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: após 5 minutos a barra esfriou pouco (de 100^\circ para cerca de 93^\circ), porque o alumínio conduz muito bem o calor (k grande) e a convecção externa é relativamente fraca ( h=20), então o processo de resfriamento é lento.

Resposta

T(5\\ \text{min}) \approx 92{,}95^\circ\mathrm{C}

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