Uma barra de seção quadrada
e muito longa de liga de alumínio (
) é utilizada para dissipação de calor. A barra está inicialmente a
e é resfriada por convecção natural a
com
em suas faces laterais. Determine a temperatura no eixo central da barra após 5 minutos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Geometria da barra: seção quadrada com lado
. Ou seja a área da seção é . - A barra é “muito longa” (portanto tratamos o problema por unidade de comprimento).
- Condições iniciais e de contorno:
- Temperatura inicial uniforme:
. - Temperatura do fluido ambiente:
. - Convecção natural nas faces laterais:
.
- Temperatura inicial uniforme:
- Propriedades do material (liga de alumínio) fornecidas:
- Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
.
- Condutividade térmica:
- Tempo pedido:
. - O enunciado pede: determinar a temperatura no eixo central da barra após
.
Passo 2
Decidir qual modelo usar — precisamos verificar se há gradientes internos de temperatura ou se a barra pode ser tratada como à temperatura uniforme (modelo de “lumped capacitance”).
- Para aplicar o modelo de lumped capacitance usa-se o número de Biot:
onde é o comprimento característico do corpo, definido por em que é o volume e a área de superfície exposta (ambos por unidade de comprimento, já que a barra é muito longa).
Calculemos
e
por metro de comprimento:
- Volume por metro:
. - Área de superfície lateral por metro (perímetro
1 m): .
Então
Agora o número de Biot:
Interpretação: como
, a resistência térmica interna por condução é muito pequena em comparação com a resistência por convecção na superfície. Logo, a temperatura dentro da seção transversefica praticamente uniforme ao longo do tempo. Portanto podemos usar o modelo de lumped capacitance: a temperatura no eixo central é igual à temperatura do sólido
(não há gradiente significativo).
Passo 3
Apresentar e derivar a equação do modelo de lumped capacitance (aula rápida e prática).
- Energia térmica armazenada no sólido por unidade de comprimento é
, onde: -
é a densidade do material ( ), -
é o calor específico ( ), -
é o volume por unidade de comprimento ( ), -
é a temperatura do sólido ( ou K) e a temperatura ambiente.
-
- Fluxo de calor por convecção por unidade de comprimento é
.
Equilibrando energia (primeira lei) e reorganizando chegamos à equação diferencial:
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem cuja solução, com condição inicial
, é
Explicando as variáveis nesta fórmula:
-
é o coeficiente de convecção (dado), -
é a área de superfície exposta por unidade de comprimento (calculada), -
e são propriedades do material que não foram fornecidas no enunciado; vamos usar valores típicos para alumínio: Observação: se a sua prova ou caderno der outros valores para e , basta substituir e recalcular; o procedimento é o mesmo.
Passo 4
Calcular os valores numéricos necessários.
Relembrando: por metro de comprimento
Calcule a constante exponencial
Substituindo:
Simplificando
, obtemos
Agora o valor numérico:
Tempo considerado:
. Então o expoente é
Passo 5
Calcular a temperatura em
usando a solução exponencial.
Como
, temos
Interpretação rápida: após 5 minutos a barra esfriou pouco (de
para cerca de
), porque o alumínio conduz muito bem o calor (k grande) e a convecção externa é relativamente fraca (
), então o processo de resfriamento é lento.