Uma esfera de aço inoxidável ( \mathrm{k}=14,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e \alpha=3,91.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) de 50 mm de diâmetro é removida de um forno a uma temperatura uniforme de 600^{\circ} \mathrm{C}. Para um processo de tratamento térmico, ela é mergulhada em um banho de óleo a 40^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o óleo é estimado em \mathrm{h}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}.
Determine:
O tempo necessário para que o centro da esfera atinja 150^{\circ} \mathrm{C}.
A temperatura na superfície da esfera nesse mesmo instante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Diâmetro da esfera: D=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}. Então o raio é a=\dfrac{D}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
Temperatura inicial uniforme da esfera: T_i=600~^\circ\mathrm{C}.
Temperatura do banho de óleo (fluido): T_\infty=40~^\circ\mathrm{C}.
Coeficiente de convecção na superfície: h=500\\ \mathrm{W/m^{2}\cdot K}.
O que é pedido:
Encontrar o tempo necessário para que o centro da esfera atinja T(0,t)=150~^\circ\mathrm{C}.
Determinar a temperatura na superfície da esfera T(a,t) no mesmo instante.
Observação: os dados numéricos acima foram retirados diretamente do enunciado.
Passo 2
Verificação rápida: posso usar o método de corpo perfeitamente lumped (temperatura uniforme no sólido) ou preciso resolver condução transiente distribuída?
Para decidir, calcule o número de Biot usando o comprimento característico apropriado para o critério de lumped. O comprimento característico para uma esfera (volume/área) é L_c=\dfrac{a}{3}.L_c=\dfrac{a}{3}=\dfrac{0{,}025}{3}=0{,}008333\\ \mathrm{m}.
O número de Biot (para critério lumped) é\mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}=\dfrac{500\cdot 0{,}008333}{14{,}2}\approx 0{,}293.
Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 podemos usar o método lumped; aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}293>0{,}1. Portanto a temperatura dentro da esfera não é aproximadamente uniforme — é necessário considerar condução transiente distribuída.
Comentário motivador: então vamos usar a solução analítica (série) para condução transiente em uma esfera com convecção na superfície. Para a maioria dos problemas práticos com \mathrm{Bi} dessa ordem, a aproximação de primeiro termo da série dá ótima precisão — vou usar essa aproximação (explico e justifico adiante).
Passo 3
Apresentando a solução teórica (resumo didático e significado das variáveis).
Defina a função de temperatura reduzida (superfície referida ao fluido):
Justificativa intuitiva: os termos de ordem superior decaem muito mais rápido no tempo (pois envolvem \exp(-\zeta_n^2\tau) com \zeta_n^2 maiores), então após um tempo moderado o primeiro termo domina. Vamos usar essa aproximação e, ao final, comentar sobre sua qualidade.
Passo 4
Determinação da equação característica e cálculo do primeiro autovalor \zeta_1.
Ao aplicar a condição de contorno convectiva -k\dfrac{\partial \theta}{\partial r}\big|_{r=a}=h\,\theta(a,t) e desenvolver as funções próprias, obtém-se a equação característica (para \zeta=\zeta_n):
Precisamos da menor raiz positiva \zeta_1 de \zeta\cot\zeta = 0{,}11972. É conveniente transformar para \delta=\dfrac{\pi}{2}-\zeta e usar \cot\zeta=\tan\delta, assim a equação fica
(\tfrac{\pi}{2}-\delta)\tan\delta = 0{,}11972,
com \delta pequeno (pois \zeta está próximo de \tfrac{\pi}{2}).
Resolvendo numericamente por interpolação (mostrando alguns pontos para trazabilidade):
Para \delta=0{,}090796 (ou seja \zeta=1{,}48) o lado esquerdo vale aproximadamente 0{,}1347 (maior que 0{,}11972).
Para \delta=0{,}070796 (ou seja \zeta=1{,}50) o lado esquerdo vale aproximadamente 0{,}10637 (menor que 0{,}11972).
Interpolando entre esses valores chega-se à solução\zeta_1\approx 1{,}4906.
(Comentário: o procedimento acima mostra apenas uma resolução numérica simples; o valor \zeta_1\approx 1{,}4906 será usado nas contas seguintes.)
Passo 5
Fórmula do coeficiente C_1 (primeiro coeficiente) e cálculo numérico.
Para uma esfera com condição convectiva e temperatura inicial uniforme, o coeficiente C_n é dado por (forma clássica usada em livros de transferência de calor):
\sin\zeta_n e \cos\zeta_n são as funções trigonométricas usualmente avaliadas numericamente.
Calculemos C_1 usando \zeta_1\approx 1{,}4906.
Primeiro calcule \sin\zeta_1 e \cos\zeta_1. Uma forma prática para precisão é usar \delta=\tfrac{\pi}{2}-\zeta_1. Com \delta\approx 0{,}08021:\sin\zeta_1=\cos\delta\approx 0{,}99678,\qquad \cos\zeta_1=\sin\delta\approx 0{,}08012 .
(Comentário: C_1 pode ser maior que 1; a soma de todos os C_n no centro deve dar 1, mas termos superiores podem ser negativos de modo a garantir a soma unitária. Para a aproximação de primeiro termo não precisamos da soma completa.)
Passo 6
Encontrar o tempo t para que o centro atinja T(0,t)=150~^\circ\mathrm{C} usando a aproximação de primeiro termo.
Primeiro escrevemos a condição desejada em termos de \theta:\frac{\theta(0,t)}{\theta_i}=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{150-40}{600-40}=\frac{110}{560}\approx 0{,}1964286.
Pela aproximação de primeiro termo:\frac{\theta(0,t)}{\theta_i}\approx C_1\exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big).Substituindo \tau=\dfrac{\alpha t}{a^{2}} e isolando t:\exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big)=\dfrac{1}{C_1}\cdot 0{,}1964286,
Portanto o tempo necessário é aproximadamente t\approx 133\\ \mathrm{s} (cerca de 2{,}22 minutos).
Passo 7
Determinar a temperatura na superfície T(a,t) no mesmo instante (usando a mesma aproximação de primeiro termo).
Para r=a a expressão de primeira ordem dá:\frac{\theta(a,t)}{\theta_i}\approx C_1\;\frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}\;\exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big).
Já calculámos \exp(-\zeta_1^{2}\tau)=0{,}15798 (valor usado para encontrar t). Calcule \dfrac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}:\frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}\approx \frac{0{,}99678}{1{,}4906}\approx 0{,}6690.
Então:\frac{\theta(a,t)}{\theta_i}\approx 1{,}2439\cdot 0{,}6690\cdot 0{,}15798 \approx 0{,}13143.Portanto a diferença entre superfície e fluido é\theta(a,t)=0{,}13143\cdot\theta_i=0{,}13143\cdot 560\approx 73{,}56\\ ^\circ\mathrm{C}.Assim a temperatura absoluta na superfície éT(a,t)=T_\infty+\theta(a,t)=40+73{,}56\approx 113{,}56\\ ^\circ\mathrm{C}.
Passo 8
Comentários sobre precisão e verificação rápida.
Usamos a aproximação de primeiro termo da série. Para a maioria dos casos práticos com esse valor de Bi e para tempos moderados, essa aproximação tem boa precisão (erros normalmente pequenos, frequentemente < a poucos por cento). O fato de o segundo termo ter autovalor \zeta_2 muito maior faz com que seu expoente decaia bem mais rápido, justificando a aproximação.
Resultado intuitivo: o centro ainda está bem mais quente que a superfície no instante considerado (o centro em 150~^\circ\mathrm{C}, superfície em \approx 114~^\circ\mathrm{C}), compatível com o comportamento físico de arrefecimento convectivo rápido na superfície.