Uma esfera de aço inoxidável ( \mathrm{k}=14,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e \alpha=3,91.10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) de 50 mm de diâmetro é removida de um forno a uma temperatura uniforme de 600^{\circ} \mathrm{C}. Para um processo de tratamento térmico, ela é mergulhada em um banho de óleo a 40^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente de transferência de calor por convecção entre a esfera e o óleo é estimado em \mathrm{h}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}.
Determine:
  1. O tempo necessário para que o centro da esfera atinja 150^{\circ} \mathrm{C}.
  2. A temperatura na superfície da esfera nesse mesmo instante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Condutividade térmica: k=14{,}2\\ \mathrm{W/m\cdot K}.
    • Difusividade térmica: \alpha=3{,}91\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • Diâmetro da esfera: D=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}. Então o raio é a=\dfrac{D}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial uniforme da esfera: T_i=600~^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do banho de óleo (fluido): T_\infty=40~^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção na superfície: h=500\\ \mathrm{W/m^{2}\cdot K}.
  • O que é pedido:
    1. Encontrar o tempo necessário para que o centro da esfera atinja T(0,t)=150~^\circ\mathrm{C}.
    2. Determinar a temperatura na superfície da esfera T(a,t) no mesmo instante.
Observação: os dados numéricos acima foram retirados diretamente do enunciado.

Passo 2

Verificação rápida: posso usar o método de corpo perfeitamente lumped (temperatura uniforme no sólido) ou preciso resolver condução transiente distribuída?
  • Para decidir, calcule o número de Biot usando o comprimento característico apropriado para o critério de lumped. O comprimento característico para uma esfera (volume/área) é L_c=\dfrac{a}{3}. L_c=\dfrac{a}{3}=\dfrac{0{,}025}{3}=0{,}008333\\ \mathrm{m}.
  • O número de Biot (para critério lumped) é \mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}=\dfrac{500\cdot 0{,}008333}{14{,}2}\approx 0{,}293.
  • Regra prática: se \mathrm{Bi}<0{,}1 podemos usar o método lumped; aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}293>0{,}1. Portanto a temperatura dentro da esfera não é aproximadamente uniforme — é necessário considerar condução transiente distribuída.
Comentário motivador: então vamos usar a solução analítica (série) para condução transiente em uma esfera com convecção na superfície. Para a maioria dos problemas práticos com \mathrm{Bi} dessa ordem, a aproximação de primeiro termo da série dá ótima precisão — vou usar essa aproximação (explico e justifico adiante).

Passo 3

Apresentando a solução teórica (resumo didático e significado das variáveis).
  • Defina a função de temperatura reduzida (superfície referida ao fluido):
    \theta(r,t)=T(r,t)-T_\infty, \qquad \theta_i=T_i-T_\infty.
    Queremos \theta(0,t) igual a T(0,t)-T_\infty e \theta(a,t)=T(a,t)-T_\infty.
  • A solução por separação de variáveis para a esfera com convecção na superfície dá (forma geral):
    \frac{\theta(r,t)}{\theta_i}=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\;\frac{\sin(\zeta_n r/a)}{\zeta_n r/a}\;\exp\!\big(-\zeta_n^{2}\,\tau\big), \qquad \tau=\dfrac{\alpha t}{a^{2}},
    em que:
    • \zeta_n são os autovalores (raízes não nulas) que satisfazem a equação característica proveniente da condição de fronteira convectiva;
    • C_n são coeficientes determinados pelas funções próprias e pela condição inicial.
  • Para o centro da esfera ( r=0), usa-se o limite \dfrac{\sin(\zeta_n r/a)}{\zeta_n r/a}\to 1 quando r\to 0, então
    \frac{\theta(0,t)}{\theta_i}=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\;\exp\!\big(-\zeta_n^{2}\,\tau\big).
  • Em muitos problemas práticos (quando os autovalores \zeta_n são bem separados), a soma é bem aproximada pelo primeiro termo ( n=1):
    \frac{\theta(0,t)}{\theta_i}\approx C_1\exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big).
    Justificativa intuitiva: os termos de ordem superior decaem muito mais rápido no tempo (pois envolvem \exp(-\zeta_n^2\tau) com \zeta_n^2 maiores), então após um tempo moderado o primeiro termo domina. Vamos usar essa aproximação e, ao final, comentar sobre sua qualidade.

Passo 4

Determinação da equação característica e cálculo do primeiro autovalor \zeta_1.
  • Ao aplicar a condição de contorno convectiva -k\dfrac{\partial \theta}{\partial r}\big|_{r=a}=h\,\theta(a,t) e desenvolver as funções próprias, obtém-se a equação característica (para \zeta=\zeta_n):
    \zeta\cot\zeta = 1-\beta, \qquad\text{onde}\qquad \beta=\dfrac{h a}{k}.
    (Observação útil: alguns autores escrevem a equação em termos de \mathrm{Bi}=hL_c/k; aqui a forma acima usa a explícito e \beta=ha/k.)
  • Calcule \beta:
    \beta=\dfrac{h a}{k}=\dfrac{500\cdot 0{,}025}{14{,}2}=\dfrac{12{,}5}{14{,}2}\approx 0{,}88028.
    Então a constante do lado direito é
    1-\beta\approx 1-0{,}88028=0{,}11972.
  • Precisamos da menor raiz positiva \zeta_1 de \zeta\cot\zeta = 0{,}11972. É conveniente transformar para \delta=\dfrac{\pi}{2}-\zeta e usar \cot\zeta=\tan\delta, assim a equação fica
    (\tfrac{\pi}{2}-\delta)\tan\delta = 0{,}11972,
    com \delta pequeno (pois \zeta está próximo de \tfrac{\pi}{2}).
  • Resolvendo numericamente por interpolação (mostrando alguns pontos para trazabilidade):
    • Para \delta=0{,}090796 (ou seja \zeta=1{,}48) o lado esquerdo vale aproximadamente 0{,}1347 (maior que 0{,}11972).
    • Para \delta=0{,}070796 (ou seja \zeta=1{,}50) o lado esquerdo vale aproximadamente 0{,}10637 (menor que 0{,}11972).
    • Interpolando entre esses valores chega-se à solução \zeta_1\approx 1{,}4906.
(Comentário: o procedimento acima mostra apenas uma resolução numérica simples; o valor \zeta_1\approx 1{,}4906 será usado nas contas seguintes.)

Passo 5

Fórmula do coeficiente C_1 (primeiro coeficiente) e cálculo numérico.
  • Para uma esfera com condição convectiva e temperatura inicial uniforme, o coeficiente C_n é dado por (forma clássica usada em livros de transferência de calor):
    C_n=\dfrac{2\big(\sin\zeta_n-\zeta_n\cos\zeta_n\big)}{\zeta_n-\sin\zeta_n\cos\zeta_n}.
    Aqui:
    • \zeta_n é o n-ésimo autovalor (já encontrado),
    • \sin\zeta_n e \cos\zeta_n são as funções trigonométricas usualmente avaliadas numericamente.
  • Calculemos C_1 usando \zeta_1\approx 1{,}4906.
    • Primeiro calcule \sin\zeta_1 e \cos\zeta_1. Uma forma prática para precisão é usar \delta=\tfrac{\pi}{2}-\zeta_1. Com \delta\approx 0{,}08021: \sin\zeta_1=\cos\delta\approx 0{,}99678,\qquad \cos\zeta_1=\sin\delta\approx 0{,}08012 .
    • Agora: \sin\zeta_1-\zeta_1\cos\zeta_1 \approx 0{,}99678 - 1{,}4906\cdot 0{,}08012 \approx 0{,}87739.
\zeta_1-\sin\zeta_1\cos\zeta_1 \approx 1{,}4906 - (0{,}99678\cdot 0{,}08012)\approx 1{,}41072.
C_1 \approx \dfrac{2\cdot 0{,}87739}{1{,}41072}\approx 1{,}2439.
(Comentário: C_1 pode ser maior que 1; a soma de todos os C_n no centro deve dar 1, mas termos superiores podem ser negativos de modo a garantir a soma unitária. Para a aproximação de primeiro termo não precisamos da soma completa.)

Passo 6

Encontrar o tempo t para que o centro atinja T(0,t)=150~^\circ\mathrm{C} usando a aproximação de primeiro termo.
  • Primeiro escrevemos a condição desejada em termos de \theta: \frac{\theta(0,t)}{\theta_i}=\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{150-40}{600-40}=\frac{110}{560}\approx 0{,}1964286.
  • Pela aproximação de primeiro termo: \frac{\theta(0,t)}{\theta_i}\approx C_1\exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big).Substituindo \tau=\dfrac{\alpha t}{a^{2}} e isolando t: \exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big)=\dfrac{1}{C_1}\cdot 0{,}1964286,
-\zeta_1^{2}\dfrac{\alpha t}{a^{2}}=\ln\!\left(\dfrac{0{,}1964286}{C_1}\right).
t=-\dfrac{a^{2}}{\zeta_1^{2}\alpha}\ln\!\left(\dfrac{0{,}1964286}{C_1}\right).
  • Agora os valores numéricos: \zeta_1^{2}\approx(1{,}4906)^{2}\approx 2{,}22185, \qquad a^{2}= (0{,}025)^{2}=0{,}000625\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad \alpha=3{,}91\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\frac{0{,}1964286}{C_1}\approx \frac{0{,}1964286}{1{,}2439}\approx 0{,}15798, \qquad \ln(0{,}15798)\approx -1{,}8446.
Logo
t\approx -\dfrac{0{,}000625}{2{,}22185\cdot 3{,}91\cdot 10^{-6}}\cdot(-1{,}8446).
Calcule passo a passo:
\dfrac{a^{2}}{\alpha}=\dfrac{0{,}000625}{3{,}91\cdot 10^{-6}}\approx 160{,}102,
\dfrac{1}{\zeta_1^{2}}\approx \dfrac{1}{2{,}22185}\approx 0{,}4500,
t\approx 160{,}102\cdot 0{,}4500\cdot 1{,}8446 \approx 132{,}9\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo necessário é aproximadamente t\approx 133\\ \mathrm{s} (cerca de 2{,}22 minutos).

Passo 7

Determinar a temperatura na superfície T(a,t) no mesmo instante (usando a mesma aproximação de primeiro termo).
  • Para r=a a expressão de primeira ordem dá: \frac{\theta(a,t)}{\theta_i}\approx C_1\;\frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}\;\exp\!\big(-\zeta_1^{2}\tau\big).
  • Já calculámos \exp(-\zeta_1^{2}\tau)=0{,}15798 (valor usado para encontrar t). Calcule \dfrac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}: \frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}\approx \frac{0{,}99678}{1{,}4906}\approx 0{,}6690.
  • Então: \frac{\theta(a,t)}{\theta_i}\approx 1{,}2439\cdot 0{,}6690\cdot 0{,}15798 \approx 0{,}13143.Portanto a diferença entre superfície e fluido é \theta(a,t)=0{,}13143\cdot\theta_i=0{,}13143\cdot 560\approx 73{,}56\\ ^\circ\mathrm{C}.Assim a temperatura absoluta na superfície é T(a,t)=T_\infty+\theta(a,t)=40+73{,}56\approx 113{,}56\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Comentários sobre precisão e verificação rápida.
  • Usamos a aproximação de primeiro termo da série. Para a maioria dos casos práticos com esse valor de Bi e para tempos moderados, essa aproximação tem boa precisão (erros normalmente pequenos, frequentemente < a poucos por cento). O fato de o segundo termo ter autovalor \zeta_2 muito maior faz com que seu expoente decaia bem mais rápido, justificando a aproximação.
  • Resultado intuitivo: o centro ainda está bem mais quente que a superfície no instante considerado (o centro em 150~^\circ\mathrm{C}, superfície em \approx 114~^\circ\mathrm{C}), compatível com o comportamento físico de arrefecimento convectivo rápido na superfície.

Resposta

t\approx 133\\ \mathrm{s}\\ (\approx 2{,}22\\ \mathrm{min})
T(a,t)\approx 113{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}

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