Encontrar a equação de Euler-Lagrange e escrever as equações de contorno naturais e essenciais para o funcional:
sendo
valor conhecido de
para
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a equação de Euler–Lagrange associada ao funcional
e (2) escrever as equações de contorno naturais e essenciais.
Informações dadas e o que está fixo:
Informações dadas e o que está fixo:
- O domínio é
. - A função desconhecida é
e . - Constantes:
(módulo de elasticidade), (área), (uma constante que multiplica ), (constante) e (valor conhecido de em ). - Condição de contorno dada:
. - Foi dito que
é o valor conhecido de para , ou seja, é especificado (contorno essencial).
Passo 2
Identifico a Lagrangiana (o integrando) do funcional:
Explicando as notações:
-
é a função a ser determinada. -
. -
é o termo energético associado à deformação (quadrático em ). -
é um termo dependente de (por exemplo, energia potencial por carregamento distribuído não-linear). - O termo extra
está fora da integral e depende somente do valor de contorno .
Passo 3
Vou montar a variação do funcional. Considero uma variação admissível
onde
é a função de variação. Como
está fixo, devemos ter
. Como o enunciado afirma que
é conhecido (prescrito), então
também. (Observação: deixarei explícito o caso em que
não estivesse prescrito quando tratarmos as condições de contorno naturais.)
A variação primeiro-ordem do funcional é (formalmente)
onde o último termo surge porque
varia como
. Note que se
é prescrito então
e esse termo some.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais da Lagrangiana:
Substituo na expressão de
:
Passo 5
Faço integração por partes do termo que contém
:
assumindo
constante (se
dependesse de
manteríamos
nas fórmulas). Substituindo, obtenho:
Como
, o termo no limite
desaparece, restando o termo de contorno em
:
Passo 6
Pelo princípio da variação estacionária,
para todas as variações admissíveis
. Isso impõe duas condições:
- Condição interior (Euler–Lagrange): exigindo que o coeficiente de
dentro da integral seja zero para todo ,
Escrevendo de forma mais convencional:
Isto é a equação diferencial que
deve satisfazer.
- Condição de contorno natural em
: o termo de contorno dá
Duas possibilidades:
- Se
for livre (não prescrito), então é arbitrária e a condição natural é
- Se
for prescrito (como diz o enunciado: conhecido), então e não surge condição natural adicional — o termo simplesmente anula e o termo no funcional é constante e não afeta a equação de Euler–Lagrange.
Passo 7
Resumo didático e interpretação prática:
- A equação
é obtida impondo que a variação interna seja zero. Se for constante, é simplesmente vezes a segunda derivada de . - Condições essenciais (prescritas) são valores de
no contorno: aqui e, conforme enunciado, (ou seja, ambos os extremos estão fixos). - Condições naturais aparecem quando a variação do contorno é livre. Pelo termo de contorno acima, se
não fosse prescrito obteríamos a condição natural .
Resposta
Condições essenciais:
Condição natural (caso
seja livre):