Encontrar a equação de Euler-Lagrange e escrever as equações de contorno naturais e essenciais para o funcional:
\Pi=\int_{0}^{l}\left[\frac{E A}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}-\text { aseny }\right] d x-P y_{l} \quad \text { com } \quad y(0)=0
sendo y_{l} valor conhecido de y(x) para x=l.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a equação de Euler–Lagrange associada ao funcional
\Pi=\int_{0}^{l}\left[\frac{E A}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}-a\sin y\right] dx - P y_{l},
e (2) escrever as equações de contorno naturais e essenciais.
Informações dadas e o que está fixo:
  • O domínio é x\in[0,l].
  • A função desconhecida é y(x) e y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
  • Constantes: E (módulo de elasticidade), A (área), a (uma constante que multiplica \sin y), P (constante) e y_{l} (valor conhecido de y em x=l).
  • Condição de contorno dada: y(0)=0.
  • Foi dito que y_{l} é o valor conhecido de y(x) para x=l, ou seja, y(l)=y_{l} é especificado (contorno essencial).

Passo 2

Identifico a Lagrangiana (o integrando) do funcional:
L(x,y,y')=\frac{E A}{2}\left(y'\right)^{2}-a\sin y.
Explicando as notações:
  • y=y(x) é a função a ser determinada.
  • y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • \dfrac{E A}{2}(y')^{2} é o termo energético associado à deformação (quadrático em y').
  • -a\sin y é um termo dependente de y (por exemplo, energia potencial por carregamento distribuído não-linear).
  • O termo extra -P y_{l} está fora da integral e depende somente do valor de contorno y(l).

Passo 3

Vou montar a variação do funcional. Considero uma variação admissível
y(x)\to y(x)+\varepsilon\,\eta(x),
onde \eta(x) é a função de variação. Como y(0)=0 está fixo, devemos ter \eta(0)=0. Como o enunciado afirma que y(l)=y_{l} é conhecido (prescrito), então \eta(l)=0 também. (Observação: deixarei explícito o caso em que y(l) não estivesse prescrito quando tratarmos as condições de contorno naturais.)
A variação primeiro-ordem do funcional é (formalmente)
\delta\Pi=\int_{0}^{l}\left(\frac{\partial L}{\partial y}\,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta'\right)dx \;-\; P\,\eta(l),
onde o último termo surge porque -P y_{l} varia como -P\,\delta y(l)=-P\,\eta(l). Note que se y(l) é prescrito então \eta(l)=0 e esse termo some.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais da Lagrangiana:
\frac{\partial L}{\partial y} = -a\cos y, \qquad \frac{\partial L}{\partial y'} = E A\, y'.
Substituo na expressão de \delta\Pi:
\delta\Pi=\int_{0}^{l}\left(-a\cos y\,\eta + E A\, y'\,\eta'\right)dx - P\,\eta(l).

Passo 5

Faço integração por partes do termo que contém \eta':
\int_{0}^{l}E A\, y'\,\eta'\,dx = \left[ E A\, y'\,\eta\right]_{0}^{l} - \int_{0}^{l} E A\, y''\,\eta\,dx,
assumindo E A constante (se E A dependesse de x manteríamos \dfrac{d}{dx}(E A\, y') nas fórmulas). Substituindo, obtenho:
\delta\Pi = \int_{0}^{l}\left(-a\cos y - E A\, y''\right)\eta\,dx + \left[ E A\, y'\,\eta\right]_{0}^{l} - P\,\eta(l).
Como \eta(0)=0, o termo no limite x=0 desaparece, restando o termo de contorno em x=l:
\delta\Pi = \int_{0}^{l}\left(-a\cos y - E A\, y''\right)\eta\,dx + \left(E A\, y'(l) - P\right)\eta(l).

Passo 6

Pelo princípio da variação estacionária, \delta\Pi=0 para todas as variações admissíveis \eta. Isso impõe duas condições:
  1. Condição interior (Euler–Lagrange): exigindo que o coeficiente de \eta(x) dentro da integral seja zero para todo x\in(0,l),
- a\cos y - E A\, y'' = 0.
Escrevendo de forma mais convencional:
E A\, y'' + a\cos y = 0.
Isto é a equação diferencial que y(x) deve satisfazer.
  1. Condição de contorno natural em x=l: o termo de contorno dá
\left(E A\, y'(l) - P\right)\eta(l)=0.
Duas possibilidades:
  • Se y(l) for livre (não prescrito), então \eta(l) é arbitrária e a condição natural é
E A\, y'(l) = P.
  • Se y(l) for prescrito (como diz o enunciado: y(l)=y_{l} conhecido), então \eta(l)=0 e não surge condição natural adicional — o termo simplesmente anula e o termo -P y_l no funcional é constante e não afeta a equação de Euler–Lagrange.

Passo 7

Resumo didático e interpretação prática:
  • A equação E A\, y'' + a\cos y = 0 é obtida impondo que a variação interna seja zero. Se E A for constante, E A\, y'' é simplesmente E A vezes a segunda derivada de y.
  • Condições essenciais (prescritas) são valores de y no contorno: aqui y(0)=0 e, conforme enunciado, y(l)=y_{l} (ou seja, ambos os extremos estão fixos).
  • Condições naturais aparecem quando a variação do contorno é livre. Pelo termo de contorno acima, se y(l) não fosse prescrito obteríamos a condição natural E A\, y'(l)=P.

Resposta

E A\, y'' + a\cos y = 0
Condições essenciais: y(0)=0,\; y(l)=y_{l}
Condição natural (caso y(l) seja livre): E A\, y'(l)=P

Exercícios relacionados