Considere uma haste rígida uniforme de comprimento total b e massa total m, que está inicialmente na posição vertical com uma extremidade apoiada no chão. A haste vai então tombar até cair.
Considere que existe atrito com o chão, e que, portanto, a extremidade de baixo fique fixa durante a queda. Qual a velocidade angular da haste no instante em que ela faz um ângulo theta com a vertical? Qual a velocidade linear, no momento em que a haste bate no chão, de um ponto da haste que possuía inicialmente altura z0 ? Encontre uma expressão para o tempo total de queda. OBS: Não precisa resolver a integral.

Passo 1

Então, temos uma haste rígida de comprimento b e massa m, que começa verticalmente apoiada no chão e depois cai, ficando em um ângulo theta com a vertical. A base da haste está fixa por causa do atrito. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e conservação de energia para resolver este exercício. Precisaremos entender o momento de inércia da haste, a relação entre velocidade angular e linear, e como calcular o tempo de queda usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular da haste quando ela faz um ângulo theta com a vertical. Para isso, usamos a conservação de energia. No início, a haste tem energia potencial máxima e nenhuma energia cinética. Quando está a um ângulo theta, parte dessa energia potencial foi convertida em energia cinética rotacional.
A energia potencial inicial é:
Ui = m g b2
Porque o centro de massa da haste está a uma altura b2.
A energia potencial quando está a theta é:
Uf = m g b2 costheta
A variação de energia potencial é igual à energia cinética rotacional:
De
O momento de inércia I da haste em relação à base é:
I = 13 m b^2
Então, substituindo:
m g b2 (1 - costheta) = 12 cdot 13 m b^2 omega^2
Simplificando:
omega = raiz3 g (1 - costheta)b

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade linear de um ponto que inicialmente estava a altura z0. A velocidade linear v está relacionada à velocidade angular omega pela distância do ponto ao eixo de rotação. Se o ponto está inicialmente a z0, sua posição na haste quando a haste está a theta é r = raizz0^2 + (b sintheta)^2, mas considerando que a haste é rígida e pivota no chão, a distância efetiva é b sintheta.
Então:
v = omega cdot b sintheta = raiz3 g (1 - costheta)b cdot b sintheta = raiz3 g b (1 - costheta) sintheta

Passo 4

Para encontrar o tempo total de queda, precisamos integrar a relação entre a velocidade angular e o ângulo. A expressão para o tempo T é dada por:
T = raizb3 g integral0^pi2 dthetaraiz1 - costheta
Não vamos resolver a integral, apenas apresentar a expressão.

Resposta

A velocidade angular da haste no instante em que faz um ângulo theta com a vertical é:
omega = raiz3 g (1 - costheta)b
A velocidade linear de um ponto inicialmente a altura z0 no momento em que a haste bate no chão é:
v = raiz3 g b (1 - costheta) sintheta
E a expressão para o tempo total de queda é:
T = raizb3 g integral0^pi2 dthetaraiz1 - costheta

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