Considere uma haste rígida uniforme de comprimento total
e massa total
, que está inicialmente na posição vertical com uma extremidade apoiada no chão. A haste vai então tombar até cair.
Considere que existe atrito com o chão, e que, portanto, a extremidade de baixo fique fixa durante a queda. Qual a velocidade angular da haste no instante em que ela faz um ângulo
com a vertical? Qual a velocidade linear, no momento em que a haste bate no chão, de um ponto da haste que possuía inicialmente altura
? Encontre uma expressão para o tempo total de queda. OBS: Não precisa resolver a integral.
Considere que existe atrito com o chão, e que, portanto, a extremidade de baixo fique fixa durante a queda. Qual a velocidade angular da haste no instante em que ela faz um ângulo
Passo 1
Então, temos uma haste rígida de comprimento
e massa
, que começa verticalmente apoiada no chão e depois cai, ficando em um ângulo
com a vertical. A base da haste está fixa por causa do atrito. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e conservação de energia para resolver este exercício. Precisaremos entender o momento de inércia da haste, a relação entre velocidade angular e linear, e como calcular o tempo de queda usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular da haste quando ela faz um ângulo
com a vertical. Para isso, usamos a conservação de energia. No início, a haste tem energia potencial máxima e nenhuma energia cinética. Quando está a um ângulo
, parte dessa energia potencial foi convertida em energia cinética rotacional.
A energia potencial inicial é:
Porque o centro de massa da haste está a uma altura
.
A energia potencial quando está a
é:
A variação de energia potencial é igual à energia cinética rotacional:
O momento de inércia
da haste em relação à base é:
Então, substituindo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade linear de um ponto que inicialmente estava a altura
. A velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela distância do ponto ao eixo de rotação. Se o ponto está inicialmente a
, sua posição na haste quando a haste está a
é
, mas considerando que a haste é rígida e pivota no chão, a distância efetiva é
.
Então:
Passo 4
Para encontrar o tempo total de queda, precisamos integrar a relação entre a velocidade angular e o ângulo. A expressão para o tempo
é dada por:
Não vamos resolver a integral, apenas apresentar a expressão.
Resposta
A velocidade angular da haste no instante em que faz um ângulo
com a vertical é:
A velocidade linear de um ponto inicialmente a altura
no momento em que a haste bate no chão é:
E a expressão para o tempo total de queda é: