Uma barra uniforme de 1 m de comprimento e massa 0.5 kg oscila em torno de uma extremidade. Calcule:
(a) O momento de inércia
(b) O período de oscilação
(c) O comprimento equivalente de um pêndulo simples

Passo 1

O enunciado nos dá uma barra uniforme de comprimento L=1,m e massa m=0,5,kg que oscila em torno de uma extremidade. O conteúdo envolve momento de inércia de corpo rígido e oscilação de pêndulo físico. Para resolver, precisamos:
  1. Saber a fórmula do momento de inércia de uma barra em torno de uma extremidade.
  2. Usar a fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo físico
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}}
onde d é a distância do pivô ao centro de massa.
3. Encontrar o comprimento equivalente l_{\rm eq} de um pêndulo simples que tenha o mesmo período.

Passo 2

Para uma barra uniforme de comprimento L e massa m, o momento de inércia em torno de uma extremidade vale
I = \frac{1}{3}\,m\,L^{2}.
Substituindo m=0,5,kg e L=1,m,
I = \frac{1}{3}\times0,5\times1^{2} = \frac{0,5}{3} = 0,1667\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

O centro de massa da barra fica a
d = \frac{L}{2} = \frac{1}{2} = 0,5\\ \mathrm{m}
do pivô. Logo, o período de pequenas oscilações é
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}} =2\pi \sqrt{\frac{\tfrac{1}{3}mL^{2}}{m\,g\,(L/2)}} =2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}.
Para L=1,m e g=9,81,m/ s^{2},
T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{3\times9,81}} \approx 2\pi \sqrt{0,06796} \approx 2\pi \times0,2607 \approx 1,64\\ \mathrm{s}.

Passo 4

O comprimento equivalente l_{\rm eq} de um pêndulo simples satisfaz
T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{\rm eq}}{g}} \quad\Longrightarrow\quad l_{\rm eq} = \frac{I}{m\,d}.
Substituindo I=\tfrac{1}{3}mL^{2} e d=L/2,
l_{\rm eq} = \frac{\tfrac{1}{3}mL^{2}}{m\,(L/2)} = \frac{2L}{3} = \frac{2\times1}{3} = 0,667\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) I = 0,1667\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}
(b) T \approx 1,64\\ \mathrm{s}
(c) l_{\rm eq} = 0,667\\ \mathrm{m}

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