Um sistema massa-mola com m=0.8 \mathrm{~kg}, k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e b=4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} é deslocado 0.1 m e solto. Determine:
(a) O tipo de amortecimento
(b) A frequência angular amortecida
(c) A equação do movimento

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola com amortecimento viscoso, cujos parâmetros são \;m=0{,}8\:\mathrm{kg},\;k=50\:\mathrm{N/m},\;b=4\:\mathrm{kg/s},
e pede (a) o tipo de amortecimento, (b) a frequência angular amortecida e (c) a equação do movimento, sabendo que em t=0 o deslocamento é x(0)=0{,}1\:\mathrm m e a velocidade x'(0)=0. Para resolver, vamos usar a equação diferencial
\ddot x + \frac{b}{m}\,\dot x + \frac{k}{m}\,x = 0,
identificar o regime de amortecimento e achar a solução geral ajustando às condições iniciais.

Passo 2

Calculemos a frequência natural não amortecida
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0{,}8}} = \sqrt{62{,}5}\approx 7{,}9057\:\mathrm{rad/s}
e a taxa de amortecimento
\delta = \frac{b}{2\,m} = \frac{4}{2\times0{,}8} = 2{,}5\:\mathrm{s^{-1}}.
Como \delta<\omega_{0}, o discriminante b^{2}-4mk é negativo e o sistema é subamortecido.

Passo 3

Para o regime subamortecido, a frequência angular amortecida é
\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}} = \sqrt{(7{,}9057)^{2} - (2{,}5)^{2}} = \sqrt{62{,}5 - 6{,}25} = \sqrt{56{,}25} =7{,}5\:\mathrm{rad/s}.

Passo 4

A solução geral para x(t) em regime subamortecido é
x(t) = A\,e^{-\delta t}\cos\bigl(\omega_{d}t + \varphi\bigr).
Aplicando x(0)=0{,}1 e x'(0)=0:
x(0)=A\cos\varphi = 0{,}1,
x'(t) = -A\,\delta\,e^{-\delta t}\cos(\omega_{d}t+\varphi)\;-\;A\,\omega_{d}\,e^{-\delta t}\sin(\omega_{d}t+\varphi),
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x'(0) = -A\,\delta\cos\varphi - A\,\omega_{d}\sin\varphi = 0.

Passo 5

Da segunda equação vem
-A\,\delta\cos\varphi = A\,\omega_{d}\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi = -\frac{\delta}{\omega_{d}} = -\frac{2{,}5}{7{,}5} = -\frac{1}{3},
\varphi = \arctan\!\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\approx -0{,}3218\:\mathrm{rad}.
Em seguida, de A\cos\varphi=0{,}1 obtemos
A = \frac{0{,}1}{\cos\varphi} = \frac{0{,}1}{\cos(-0{,}3218)} \approx 0{,}1053\:\mathrm m.

Resposta

(a) O sistema é subamortecido, pois \delta<\omega_{0}.
(b) A frequência angular amortecida é \omega_{d}=7{,}5\:\mathrm{rad/s}.
(c) A equação do movimento é, por exemplo,
\boxed{ x(t) = 0{,}1053\,e^{-2{,}5\,t}\,\cos\bigl(7{,}5\,t - 0{,}3218\bigr)\;\mathrm{m}. }

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