Uma ponte com massa de 10.000 kg tem frequência natural de 4 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e coeficiente de amortecimento \gamma=0.2 \mathrm{~s}^{-1}. Se uma força oscilante de amplitude 10^{5} \mathrm{~N} atua sobre a ponte, determine:
(a) A frequência de ressonância
(b) A amplitude na ressonância

Passo 1

O enunciado descreve uma ponte de massa m=10000,kg com frequência natural \omega_0=4,rad/s e coeficiente de amortecimento \gamma=0,2, s^{-}¹. Sobre ela atua uma força oscilante de amplitude F_0=10^5,N. Em regime permanente o modelo é o do oscilador harmônico amortecido forçado:
m\ddot x + c\dot x + kx = F_0\cos(\omega t),
onde \displaystyle c=2m\gamma e \displaystyle k=m\omega_0^2.
A amplitude em função da frequência de excitação \omega é
A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}.

Passo 2

Para encontrar a frequência que maximiza A(\omega) (ressonância), derivamos o denominador em relação a \omega e igualamos a zero. O resultado conhecido para amortecimento leve é
\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 \;-\; 2\gamma^2}.

Passo 3

Substituindo \omega_0=4,rad/s e \gamma=0,2, s^{-}¹,
\omega_r = \sqrt{4^2 - 2\,(0,2)^2} = \sqrt{16 - 0,08} = \sqrt{15,92} \approx 3,99\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Para achar a amplitude em ressonância A_r = A(\omega_r), avalia-se o denominador em \omega=\omega_r. Notando que
k - m\omega_r^2=m(\omega_0^2-\omega_r^2)=2m\gamma^2, \quad c\,\omega_r = 2m\gamma\,\omega_r,
temos
\sqrt{(2m\gamma^2)^2 + (2m\gamma\,\omega_r)^2} =2m\gamma\,\sqrt{\gamma^2+\omega_r^2} =2m\gamma\,\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
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A_r = \frac{F_0}{2\,m\,\gamma\,\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}.

Passo 5

Agora substituímos m=10000,kg, \gamma=0,2, s^{-}¹ e \omega_0=4,rad/s:
2\,m\,\gamma\,\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} =2\cdot10000\cdot0,2\cdot\sqrt{16-0,04} =4000\cdot3,995 \approx15980,
A_r = \frac{10^5}{15980}\approx6,26\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \omega_r \approx 3{,}99,rad/s
(b) A_r \approx 6{,}26,m

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