Um bloco de 2 kg está preso a uma mola de constante elástica 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O sistema é montado verticalmente. Determine:
(a) A posição de equilíbrio
(b) A equação do movimento se o bloco é deslocado 5 cm para baixo e solto
(c) A energia mecânica total

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=2 kg preso a uma mola de constante elástica k=200 N/m, montado verticalmente. Precisamos achar:
(a) a posição de equilíbrio (extensão estática da mola),
(b) a equação do movimento quando o bloco é deslocado 5 cm para baixo e solto,
(c) a energia mecânica total.
Conteúdo: análise de forças em equilíbrio, EDO do movimento harmônico simples (MHS) e energia no MHS.

Passo 2

Para a posição de equilíbrio, igualamos a força elástica ao peso:
k\,x_{\mathrm{eq}} = m\,g.
Logo,
x_{\mathrm{eq}} = \frac{m\,g}{k} = \frac{2\cdot 9.8}{200} =0.098\text{ m}.
Este é o alongamento da mola em repouso.

Passo 3

Definimos x(t) como o deslocamento em relação à posição de equilíbrio (positivo para baixo). A segunda lei de Newton dá
m\frac{d^2x}{dt^2} + k\,x = 0,
que é MHS com
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = 10\text{ rad/s}.
A solução geral é
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t).
Condições iniciais em t=0: x(0)=0.05 m e v(0)=0. Assim,
A = 0.05,\quad B = 0,
e portanto
x(t) = 0.05\cos(10\,t)\quad(\text{m}).

Passo 4

No MHS, a energia mecânica total (medida a partir da posição de equilíbrio) é
E = \frac12\,k\,A^2.
Com k=200 N/m e A=0.05 m:
E = \frac12\cdot200\cdot(0.05)^2 =100\cdot0.0025 =0.25\text{ J}.

Resposta

(a) \displaystyle x_{\mathrm{eq}}=0.098 m abaixo do ponto sem carga da mola.
(b) \displaystyle x(t)=0.05\cos(10t) m, com t em segundos.
(c) \displaystyle E=0.25 J.

Exercícios relacionados