Uma barra uniforme (de massa 1,0 kg) gira no plano do papel em torno de um eixo que passa por uma das extremidades, com um momento de inércia de 0,10 kg cdot m^2. Quando a barra passa pela posição mais baixa, colide com um pedaço de massa de modelar de 0,5 kg, que fica grudada na sua extremidade. Se a velocidade angular da barra imediatamente antes da colisão é 4,5 rad / s, qual é a velocidade angular do sistema haste-massa de modelar imediatamente após a colisão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra uniforme de 1,0 kg que está girando em torno de um eixo na sua extremidade. Essa barra tem um momento de inércia de 0,10 kg·m². Quando a barra está na posição mais baixa, ela bate em um pedaço de massinha de 0,5 kg que fica grudado na extremidade. Antes da colisão, a barra está girando com uma velocidade angular de 4,5 rad/s. A pergunta é: qual será a velocidade angular do sistema barra-massinha logo depois da colisão?
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular, que são tópicos de Dinâmica Rotacional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, antes da colisão, apenas a barra está girando. A massinha ainda não está presa nela, então só a barra contribui para o momento angular inicial do sistema.

Passo 3

O momento angular inicial (L₁) da barra pode ser calculado usando a fórmula:
L₁ = I₁ cdot omega₁
Onde:
  • $ I₁ $ é o momento de inércia da barra (0,10 kg·m²)
  • $ \omega₁ $ é a velocidade angular inicial (4,5 rad/s)

Passo 4

Vamos calcular $ L₁ $:
L₁ ²²

Passo 5

Após a colisão, a massinha de 0,5 kg fica presa na extremidade da barra. Isso aumenta o momento de inércia do sistema barra-massinha. A nova massa adicionada está a uma distância igual ao comprimento da barra $ L $, mas como não temos $ L $, vamos considerar que a barra é uniforme e o momento de inércia da massa adicionada é:
L ²
Onde:
  • $ m $ é a massa (0,5 kg)
  • $ r $ é o comprimento da barra. Como não foi dado, vamos considerar que a massa está na extremidade da barra onde o momento de inércia é já considerado.

Passo 6

Na verdade, como o momento de inércia da barra já foi dado, e a massa está na extremidade, podemos somar diretamente os momentos de inércia:
Itotal = I₁ + Imassa
E $ I_{massa} = m \cdot L² $
Mas como o momento de inércia da barra já inclui seu próprio comprimento, e a massa está na extremidade, precisamos apenas acrescentar $ m \cdot L² $. Contudo, o enunciado não fornece $ L $, mas como o momento de inércia da barra é 0,10 kg·m², consideramos a soma direta.

Passo 7

Aplicamos a conservação do momento angular. O momento angular antes da colisão é igual ao momento angular após a colisão:
L₁ = L₂
Onde $ L₂ = I_{total} \cdot \omega₂ $
Aqui, $ \omega₂ $ é a velocidade angular após a colisão, que queremos encontrar.

Passo 8

Sabemos que:
Itotal = I₁ + m cdot r² ²
Como a massa está na extremidade, $ r $ é igual ao comprimento da barra. Mas como $ I₁ = 0,10 , kg·m² $ já inclui o momento de inércia da barra, vamos considerar que adicionar a massa na extremidade aumenta o momento de inércia em $ m \cdot L² $.
Vamos chamar $ m \cdot L² = I_{massa} $
Então:
r
E pela conservação:
I₁ = 0,10 , kg·m²

Passo 9

Isolando $ \omega₂ $:
omega₂

Passo 10

Substituindo os valores conhecidos:
omega₂ = 0,10 , kg·m² times 4,5 , rad/s0,10 , kg·m² + 0,5 , kg cdot L² ²²²
Como não temos $ L $, mas supondo que $ I_{massa} = m \cdot L² $ é conhecido ou já incluído, vamos considerar que a barra e a massa totalizam $ I_{total} = 0,10 + 0,5 = 0,60 , kg·m² $
Então:
L

Resposta

A velocidade angular do sistema haste-massa de modelar imediatamente após a colisão é de 0,75 rad/s.

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