(1.5 ponto) No plano z=0 há corrente distribuida uniformimente com densidade superficial k=k0 ay. Assuma que essa distribuição esteja localizada no vácuo.
a. ( 0.5 pontos) Determine a corrente que atravessa um segmento retilíneo, localizado em z=0, entre os pontos (0, I, 0) e (-I, 0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de corrente no plano $ z = 0 $ com densidade superficial de corrente $ \mathbf{k} = k_0 \mathbf{a}_y $. Isso significa que a corrente está fluindo uniformemente na direção $ y $. O exercício quer que a gente encontre a corrente que atravessa um segmento de reta no mesmo plano, que vai do ponto $ (0, I, 0) $ até $ (-I, 0, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade de corrente e como calcular a corrente através de uma área ou segmento.

Passo 2

Vamos lembrar que a densidade superficial de corrente $ \mathbf{k} $ descreve a quantidade de corrente que passa por uma unidade de comprimento na superfície. Para encontrar a corrente que atravessa o segmento especificado, precisamos considerar a interação entre a densidade de corrente e a direção perpendicular ao segmento.

Passo 3

Primeiro, identificamos a direção do segmento que vai de $ (0, I, 0) $ a $ (-I, 0, 0) $. Esse segmento está no plano $ z = 0 $ e vai de cima (em $ y = I $) para a esquerda (em $ x = -I $). A direção desse segmento pode ser descrita vetorialmente. Vamos representar o vetor que aponta do primeiro ponto para o segundo como $ \mathbf{L} $.

Passo 4

O vetor $ \mathbf{L} $ que representa o segmento é:
L
Agora, precisamos encontrar uma direção que seja perpendicular a esse segmento para calcular a corrente que atravessa.

Passo 5

A corrente que atravessa o segmento depende do produto escalar entre a densidade de corrente $ \mathbf{k} $ e a direção perpendicular ao segmento. A densidade de corrente é $ \mathbf{k} = k_0 \mathbf{a}_y $. Vamos encontrar uma direção perpendicular a $ \mathbf{L} $.

Passo 6

Um vetor perpendicular a $ \mathbf{L} $ pode ser obtido trocando os componentes e mudando o sinal de um deles. Então, um vetor perpendicular é $ \mathbf{n} = \mathbf{a}_x - \mathbf{a}_y $.

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar entre $ \mathbf{k} $ e $ \mathbf{n} $:
k
Esse valor nos dá a componente da densidade de corrente que atravessa o segmento.

Passo 8

Finalmente, para encontrar a corrente total $ I_{atravessa} $, multiplicamos a densidade de corrente perpendicular pelo comprimento do segmento. O comprimento do segmento de $ (0, I, 0) $ a $ (-I, 0, 0) $ é:
Iatravessa
Então, a corrente que atravessa é:
(0, I, 0)

Resposta

A corrente que atravessa o segmento é $ I_{atravessa} = -k_0 I \sqrt{2} $.

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