(1.5 ponto) No plano
há corrente distribuida uniformimente com densidade superficial
. Assuma que essa distribuição esteja localizada no vácuo.
a. ( 0.5 pontos) Determine a corrente que atravessa um segmento retilíneo, localizado em
, entre os pontos
e
.
a. ( 0.5 pontos) Determine a corrente que atravessa um segmento retilíneo, localizado em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de corrente no plano $ z = 0 $ com densidade superficial de corrente $ \mathbf{k} = k_0 \mathbf{a}_y $. Isso significa que a corrente está fluindo uniformemente na direção $ y $. O exercício quer que a gente encontre a corrente que atravessa um segmento de reta no mesmo plano, que vai do ponto $ (0, I, 0) $ até $ (-I, 0, 0) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade de corrente e como calcular a corrente através de uma área ou segmento.
Passo 2
Vamos lembrar que a densidade superficial de corrente $ \mathbf{k} $ descreve a quantidade de corrente que passa por uma unidade de comprimento na superfície. Para encontrar a corrente que atravessa o segmento especificado, precisamos considerar a interação entre a densidade de corrente e a direção perpendicular ao segmento.
Passo 3
Primeiro, identificamos a direção do segmento que vai de $ (0, I, 0) $ a $ (-I, 0, 0) $. Esse segmento está no plano $ z = 0 $ e vai de cima (em $ y = I $) para a esquerda (em $ x = -I $). A direção desse segmento pode ser descrita vetorialmente. Vamos representar o vetor que aponta do primeiro ponto para o segundo como $ \mathbf{L} $.
Passo 4
O vetor $ \mathbf{L} $ que representa o segmento é:
Agora, precisamos encontrar uma direção que seja perpendicular a esse segmento para calcular a corrente que atravessa.
Passo 5
A corrente que atravessa o segmento depende do produto escalar entre a densidade de corrente $ \mathbf{k} $ e a direção perpendicular ao segmento. A densidade de corrente é $ \mathbf{k} = k_0 \mathbf{a}_y $. Vamos encontrar uma direção perpendicular a $ \mathbf{L} $.
Passo 6
Um vetor perpendicular a $ \mathbf{L} $ pode ser obtido trocando os componentes e mudando o sinal de um deles. Então, um vetor perpendicular é $ \mathbf{n} = \mathbf{a}_x - \mathbf{a}_y $.
Passo 7
Agora, calculamos o produto escalar entre $ \mathbf{k} $ e $ \mathbf{n} $:
Esse valor nos dá a componente da densidade de corrente que atravessa o segmento.
Passo 8
Finalmente, para encontrar a corrente total $ I_{atravessa} $, multiplicamos a densidade de corrente perpendicular pelo comprimento do segmento. O comprimento do segmento de $ (0, I, 0) $ a $ (-I, 0, 0) $ é:
Então, a corrente que atravessa é:
Resposta
A corrente que atravessa o segmento é $ I_{atravessa} = -k_0 I \sqrt{2} $.