(1.5 pontos) Carga é distribuída com densidade uniforme
no interior de uma esfera de raio a. Admitindo que a esfera esteja executando um movimento de rotação, em torno do eixo
, com velocidade angular constante
, determine:
a. ( 0.5 pontos) O vetor magnetização em um ponto qualquer no interior da esfera.
a. ( 0.5 pontos) O vetor magnetização em um ponto qualquer no interior da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com carga elétrica distribuída de forma uniforme no seu interior, ou seja, a densidade de carga é constante e representada por
. Essa esfera está girando em torno do eixo
com uma velocidade angular constante
. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o vetor de magnetização
em qualquer ponto dentro dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como cargas em movimento criam campos magnéticos, ou seja, a magnetização está relacionada ao movimento das cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que a rotação da esfera faz com as cargas. Como a esfera está girando, as cargas elétricas também estão se movendo. Esse movimento de cargas cria uma corrente elétrica efetiva dentro da esfera. A corrente elétrica é essencialmente o fluxo de cargas por unidade de tempo.
A densidade de corrente
pode ser calculada multiplicando a densidade de carga
pela velocidade de movimento das cargas
. Como a esfera está girando com velocidade angular
, a velocidade no ponto
é dada por:
Assim, a densidade de corrente fica:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar essa densidade de corrente com a magnetização
. A magnetização é uma medida de como um material responde a campos magnéticos, e para correntes em movimento, ela está diretamente relacionada à densidade de corrente.
A relação entre a densidade de corrente
e a magnetização
para materiais magnéticos é dada por:
No caso de uma esfera rotativa com densidade de corrente uniforme, podemos assumir que a magnetização é proporcional à densidade de corrente. Portanto, vamos precisar integrar essa relação para encontrar
.
Passo 4
Vamos calcular a magnetização
. Considerando a simetria do problema (a esfera está girando uniformemente), a magnetização deve depender apenas da distância ao eixo de rotação e apontar na direção do eixo
.
Fazendo os cálculos, fica:
Isso significa que a magnetização é proporcional à posição
dentro da esfera e está alinhada com o eixo de rotação.
Resposta
O vetor magnetização em qualquer ponto no interior da esfera é dado por