(1.5 pontos) Carga é distribuída com densidade uniforme rho no interior de uma esfera de raio a. Admitindo que a esfera esteja executando um movimento de rotação, em torno do eixo z, com velocidade angular constante omega, determine:
a. ( 0.5 pontos) O vetor magnetização em um ponto qualquer no interior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera com carga elétrica distribuída de forma uniforme no seu interior, ou seja, a densidade de carga é constante e representada por rho. Essa esfera está girando em torno do eixo z com uma velocidade angular constante omega. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o vetor de magnetização M em qualquer ponto dentro dessa esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como cargas em movimento criam campos magnéticos, ou seja, a magnetização está relacionada ao movimento das cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que a rotação da esfera faz com as cargas. Como a esfera está girando, as cargas elétricas também estão se movendo. Esse movimento de cargas cria uma corrente elétrica efetiva dentro da esfera. A corrente elétrica é essencialmente o fluxo de cargas por unidade de tempo.
A densidade de corrente J pode ser calculada multiplicando a densidade de carga rho pela velocidade de movimento das cargas v. Como a esfera está girando com velocidade angular omega, a velocidade no ponto r é dada por:
v = omega times r
Assim, a densidade de corrente fica:
J = rho (omega times r)

Passo 3

Agora, precisamos relacionar essa densidade de corrente com a magnetização M. A magnetização é uma medida de como um material responde a campos magnéticos, e para correntes em movimento, ela está diretamente relacionada à densidade de corrente.
A relação entre a densidade de corrente J e a magnetização M para materiais magnéticos é dada por:
J = nabla times M
No caso de uma esfera rotativa com densidade de corrente uniforme, podemos assumir que a magnetização é proporcional à densidade de corrente. Portanto, vamos precisar integrar essa relação para encontrar M.

Passo 4

Vamos calcular a magnetização M. Considerando a simetria do problema (a esfera está girando uniformemente), a magnetização deve depender apenas da distância ao eixo de rotação e apontar na direção do eixo z.
Fazendo os cálculos, fica:
M = rho omega3 r
Isso significa que a magnetização é proporcional à posição r dentro da esfera e está alinhada com o eixo de rotação.

Resposta

O vetor magnetização em qualquer ponto no interior da esfera é dado por
M = rho , omega3 , r

Exercícios relacionados