Uma barra uniforme de massa M e comprimento L orientada verticalmente, pode rotacionar em torno de seu extremo superior. Uma bala de massa m voando na horizontal com velocidade vo colide elasticamente com o centro de massa da barra. Determine: (a) A velocidade de recuo da bala. (b) A velocidade angular da barra imediatamente após a colisão. Argumte fisicamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolvê-la. Temos uma barra uniforme com massa $ M $ e comprimento $ L $, que está de pé e pode girar em torno do seu extremo superior. Uma bala com massa $ m $ (onde $ m < M $) está voando na horizontal com velocidade $ v_0 $ e colide elasticamente com o centro de massa da barra. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A velocidade de recuo da bala após a colisão.
b) A velocidade angular da barra imediatamente após a colisão.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de conservação de momento linear e angular, além de relações de movimento rotacional. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma colisão elástica. Em uma colisão elástica, tanto o momento linear quanto a energia cinética são conservados. Isso nos dá duas equações importantes para trabalhar.

Passo 3

Vamos considerar o momento linear antes e depois da colisão. Antes da colisão, a barra está parada, então seu momento linear é zero. A bala tem momento linear $ p_{inicial} = m v_0 $.
Depois da colisão, a bala tem uma nova velocidade $ v $, então seu momento linear é $ p_{bala} = m v $. A barra começa a girar com velocidade angular $ \omega $, o que significa que sua velocidade linear no centro de massa é relacionada a $ \omega $.

Passo 4

Agora, aplicamos a conservação do momento linear. O momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois da colisão:
m v0 = m v + I omega
Onde $ I $ é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra uniforme girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é:
I

Passo 5

Além disso, como a colisão é elástica, também conservamos a energia cinética. A energia cinética antes da colisão é apenas a da bala:
Einicial = 12 m v0^2
Depois da colisão, temos a energia cinética da bala e a energia cinética de rotação da barra:
Efinal = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Então, igualamos as duas expressões:
12 m v0^2 = 12 m v^2 + 12 I omega^2

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ v $ e $ \omega $). Vamos resolver essas equações para encontrar $ v $ e $ \omega $.
Primeiro, da conservação do momento linear:
v
omega
v

Passo 7

Substituímos $ I $ pela expressão que encontramos:
I
v = v0 - 13 M L^2m omega

Passo 8

Agora, substituímos $ v $ na equação de conservação da energia:
v

Passo 9

Vamos simplificar essa equação. Expandindo o quadrado:
12 m v0^2 = 12 m (v0^2 - 2 v0 M L^23m omega + (M L^23m)^2 omega^2) + 12 cdot 13 M L^2 omega^2

Passo 10

Multiplicando tudo:
12 m v0^2 = 12 m v0^2 - m v0 M L^23m omega + m2 (M L^23m)^2 omega^2 + 16 M L^2 omega^2
Simplificando os termos:
12 m v0^2 = 12 m v0^2 - M L^23 v0 omega + M^2 L^418 m omega^2 + 16 M L^2 omega^2

Passo 11

Subtraindo $ \frac{1}{2} m v_0^2 $ de ambos os lados:
12 m v0^2

Passo 12

Fatorando $ \omega $:
omega
Ignorando a solução trivial $ \omega = 0 $, temos:
0 = omega (- M L^23 v0 + M^2 L^418 m omega + 16 M L^2 omega )

Passo 13

Vamos somar os termos com $ \omega $:
omega
Fatorando $ M L^2 $:
(M^2 L^418 m + 16 M L^2) omega = M L^23 v0

Passo 14

Dividindo ambos os lados por $ M L^2 $:
M L^2
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
(M L^218 m + 16) omega = 13 v0

Passo 15

Isolando $ \omega $:
omega
omega = 13 v0 cdot 18 mM L^2 + 3 m

Passo 16

Agora que temos $ \omega $, podemos encontrar a velocidade $ v $ da bala usando a equação anterior:
omega
v
v = v0 - M L^23 m omega
v = v0 - M L^23 m cdot 6 m v0M L^2 + 3 m
v = v0 - 6 M L^2 v03 (M L^2 + 3 m)
v = v0 - 2 M L^2 v0M L^2 + 3 m
v = v0 (1 - 2 M L^2M L^2 + 3 m)

Resposta

a) A velocidade de recuo da bala após a colisão é:
v = v0 (3 m - M L^2M L^2 + 3 m)
b) A velocidade angular da barra imediatamente após a colisão é:
omega = 6 m v0M L^2 + 3 m

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