Uma barra uniforme de massa
e comprimento
orientada verticalmente, pode rotacionar em torno de seu extremo superior. Uma bala de massa
voando na horizontal com velocidade
colide elasticamente com o centro de massa da barra. Determine: (a) A velocidade de recuo da bala. (b) A velocidade angular da barra imediatamente após a colisão. Argumte fisicamente.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolvê-la. Temos uma barra uniforme com massa $ M $ e comprimento $ L $, que está de pé e pode girar em torno do seu extremo superior. Uma bala com massa $ m $ (onde $ m < M $) está voando na horizontal com velocidade $ v_0 $ e colide elasticamente com o centro de massa da barra. Precisamos descobrir duas coisas:
a) A velocidade de recuo da bala após a colisão.
b) A velocidade angular da barra imediatamente após a colisão.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de conservação de momento linear e angular, além de relações de movimento rotacional. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma colisão elástica. Em uma colisão elástica, tanto o momento linear quanto a energia cinética são conservados. Isso nos dá duas equações importantes para trabalhar.
Passo 3
Vamos considerar o momento linear antes e depois da colisão. Antes da colisão, a barra está parada, então seu momento linear é zero. A bala tem momento linear $ p_{inicial} = m v_0 $.
Depois da colisão, a bala tem uma nova velocidade $ v $, então seu momento linear é $ p_{bala} = m v $. A barra começa a girar com velocidade angular $ \omega $, o que significa que sua velocidade linear no centro de massa é relacionada a $ \omega $.
Passo 4
Agora, aplicamos a conservação do momento linear. O momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois da colisão:
Onde $ I $ é o momento de inércia da barra em relação ao ponto de rotação. Para uma barra uniforme girando em torno de uma extremidade, o momento de inércia é:
Passo 5
Além disso, como a colisão é elástica, também conservamos a energia cinética. A energia cinética antes da colisão é apenas a da bala:
Depois da colisão, temos a energia cinética da bala e a energia cinética de rotação da barra:
Então, igualamos as duas expressões:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ v $ e $ \omega $). Vamos resolver essas equações para encontrar $ v $ e $ \omega $.
Primeiro, da conservação do momento linear:
Passo 7
Substituímos $ I $ pela expressão que encontramos:
Passo 8
Agora, substituímos $ v $ na equação de conservação da energia:
Passo 9
Vamos simplificar essa equação. Expandindo o quadrado:
Passo 10
Multiplicando tudo:
Simplificando os termos:
Passo 11
Subtraindo $ \frac{1}{2} m v_0^2 $ de ambos os lados:
Passo 12
Fatorando $ \omega $:
Ignorando a solução trivial $ \omega = 0 $, temos:
Passo 13
Vamos somar os termos com $ \omega $:
Fatorando $ M L^2 $:
Passo 14
Dividindo ambos os lados por $ M L^2 $:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Passo 15
Isolando $ \omega $:
Passo 16
Agora que temos $ \omega $, podemos encontrar a velocidade $ v $ da bala usando a equação anterior:
Resposta
a) A velocidade de recuo da bala após a colisão é:
b) A velocidade angular da barra imediatamente após a colisão é: