Uma pequena esfera de raio r começa a rolar sem deslizar de uma altura h sobre uma elevação passando daí para uma superfície circular (loop) de raio R. Assumindo que r ll R, determine o valor mínimo de h, h min , para que esta realize o loop. Compare esse resultado com o caso de deslizamento sem atrito.
Dados: IC M^ Esfera =25 m r^2 ; IC M^ Barra =112 M L^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera pequena que está rolando sem deslizar de uma altura h e precisa descobrir qual é a altura mínima hmin para que ela consiga dar a volta completa no loop de raio R. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de rotação e conservação de energia. Vamos precisar usar as fórmulas de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, além das condições para que a esfera complete o loop.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que a esfera tem lá no começo, na altura h. Essa é a energia potencial gravitacional, dada por:
Ep = mgh
onde m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Quando a esfera começa a rolar para baixo, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas como a esfera está rolando sem deslizar, ela tem dois tipos de energia cinética: a translacional (de movimento para frente) e a rotacional (de rotação). A energia total é:
Ek = 12mv^2 + 12Iomega^2
Aqui, v é a velocidade da esfera e omega é a velocidade angular. Como está rolando sem deslizar, temos a relação v = omega r.

Passo 4

Vamos substituir omega por v/r na equação da energia cinética:
Ek = 12mv^2 + 12I(vr)^2 = 12mv^2 + 12 cdot 25mr^2 cdot v^2r^2 = 12mv^2 + 15mv^2 = 710mv^2

Passo 5

Pela conservação de energia, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética no ponto mais baixo:
mgh = 710mv^2
Podemos cancelar a massa m dos dois lados:
gh = 710v^2 Rightarrow v^2 = 107gh

Passo 6

Para a esfera completar o loop, no topo do loop, ela precisa ter uma velocidade suficiente para que a força centrípeta seja igual à força gravitacional. A condição mínima é:
vtopo^2 >= gR
Onde R é o raio do loop.

Passo 7

A energia no topo do loop consiste novamente em energia potencial e cinética. A energia total no topo deve ser menor ou igual à energia total no ponto mais baixo. Então:
mg(2R) + 710mvtopo^2 = mgh
Substituindo vtopo^2 pela condição mínima:
mg(2R) + 710m(gR) = mgh
Simplificando:
2gR + 710gR = gh Rightarrow 2710gR = gh
Cancelando g:
h = 2710R = 2,7R

Passo 8

Agora, vamos comparar com o caso de deslizamento sem atrito, onde toda a energia potencial se transforma apenas em energia cinética translacional:
mgh = 12mv^2
E a condição para completar o loop permanece v^2 >= gR:
gh = 12v^2 >= 12gR Rightarrow h >= R2

Resposta

A altura mínima necessária para que a esfera role sem deslizar e complete o loop é hmin = 2,7,R. Já no caso de deslizamento sem atrito, a altura mínima é hmin = R2. Isso mostra que, ao considerar a rotação, é necessário um pouco mais de altura para garantir que a esfera complete o loop.

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