Uma pequena esfera de raio
começa a rolar sem deslizar de uma altura
sobre uma elevação passando daí para uma superfície circular (loop) de raio
. Assumindo que
, determine o valor mínimo de
, para que esta realize o loop. Compare esse resultado com o caso de deslizamento sem atrito.
Dados:
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera pequena que está rolando sem deslizar de uma altura
e precisa descobrir qual é a altura mínima
para que ela consiga dar a volta completa no loop de raio
. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de rotação e conservação de energia. Vamos precisar usar as fórmulas de energia potencial, energia cinética translacional e rotacional, além das condições para que a esfera complete o loop.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que a esfera tem lá no começo, na altura
. Essa é a energia potencial gravitacional, dada por:
onde
é a massa da esfera e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Quando a esfera começa a rolar para baixo, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas como a esfera está rolando sem deslizar, ela tem dois tipos de energia cinética: a translacional (de movimento para frente) e a rotacional (de rotação). A energia total é:
Aqui,
é a velocidade da esfera e
é a velocidade angular. Como está rolando sem deslizar, temos a relação
.
Passo 4
Vamos substituir
por
na equação da energia cinética:
Passo 5
Pela conservação de energia, a energia potencial inicial se transforma na energia cinética no ponto mais baixo:
Podemos cancelar a massa
dos dois lados:
Passo 6
Para a esfera completar o loop, no topo do loop, ela precisa ter uma velocidade suficiente para que a força centrípeta seja igual à força gravitacional. A condição mínima é:
Onde
é o raio do loop.
Passo 7
A energia no topo do loop consiste novamente em energia potencial e cinética. A energia total no topo deve ser menor ou igual à energia total no ponto mais baixo. Então:
Substituindo
pela condição mínima:
Simplificando:
Cancelando
:
Passo 8
Agora, vamos comparar com o caso de deslizamento sem atrito, onde toda a energia potencial se transforma apenas em energia cinética translacional:
E a condição para completar o loop permanece
:
Resposta
A altura mínima necessária para que a esfera role sem deslizar e complete o loop é
. Já no caso de deslizamento sem atrito, a altura mínima é
. Isso mostra que, ao considerar a rotação, é necessário um pouco mais de altura para garantir que a esfera complete o loop.