A barragem mostrada possui largura 100 m (na direção perpendicular ao plano do desenho). O plano inclinado confinado pela água tem 96 m na horizontal e 128 m na vertical, formando a face molhada.
Pede-se: a magnitude da força hidrostática e a localização da força (profundidade do centro de pressão e/ou distância ao longo do plano até o ponto de aplicação) na superfície inclinada.
Dados e hipóteses
  • Água a 27^{\circ} \mathrm{C}.
  • Superfície livre no topo; pressão atmosférica externa desprezada.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • A magnitude da força hidrostática resultante sobre a face inclinada molhada.
  • A localização dessa força: profundidade do centro de pressão (vertical abaixo da superfície livre) e/ou distância ao longo do plano desde o topo até o ponto de aplicação.
Dados fornecidos (listei tudo explicitamente):
  • Largura perpendicular ao plano (para fora do desenho): b=100\\ \mathrm{m}.
  • Projeção horizontal do plano: 96\\ \mathrm{m}.
  • Projeção vertical do plano: 128\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura da água: 27^\circ\mathrm{C} (usarei uma densidade típica a essa temperatura).
  • Superfície livre no topo; pressão atmosférica externa desprezada.
Dados assumidos/valores numéricos usados:
  • Densidade da água a 27^\circ\mathrm{C}: \rho=996{,}5\\ \mathrm{kg/m^3} (valor tabelado aproximado).
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Peso específico do fluido: \gamma=\rho g (vou calcular no próximo passo).
Observações geométricas imediatas (não resolvo nada ainda):
  • O comprimento do plano inclinado é a hipotenusa do triângulo com catetos 96 e 128 m; isto será usado para achar a área e a posição do centróide.

Passo 2

Calculemos a geometria e o peso específico do fluido (aqui ensino os conceitos básicos).
  1. Comprimento do plano inclinado L.
L=\sqrt{96^2+128^2}=\sqrt{9216+16384}=\sqrt{25600}=160\\ \mathrm{m}.
Explicação: usei o Teorema de Pitágoras porque o plano é a hipotenusa do triângulo cujo cateto horizontal vale 96 e vertical 128.
  1. Ângulo de inclinação \theta e seno/cosseno úteis.
\sin\theta=\frac{128}{160}=0{,}8,\qquad \cos\theta=\frac{96}{160}=0{,}6.
Comentário didático: \sin\theta é a razão entre a componente vertical e a hipotenusa; isso facilita converter uma distância ao longo do plano para profundidade vertical.
  1. Área da face molhada (retângulo inclinado).
A=L\cdot b=160\cdot 100=16000\\ \mathrm{m^2}.
  1. Peso específico do líquido \gamma.
\gamma=\rho g = 996{,}5\cdot 9{,}81 = 9779{,}8\\ \mathrm{N/m^3}\quad(\text{aprox.}).
Explicação: \gamma é a força por unidade de volume (peso por volume). A pressão hidrostática à profundidade z é p=\gamma z.
  1. Profundidade do centróide da superfície (média das profundidades).
    A posição do centróide ao longo do plano é s_c=L/2=80\\ \mathrm{m}. A profundidade vertical do centróide é
h_c = s_c\sin\theta = 80\cdot 0{,}8 = 64\\ \mathrm{m}.
Comentário: para uma superfície plana inclinada e com o topo na superfície livre, o centróide fica no meio do comprimento.

Passo 3

Cálculo da magnitude da força hidrostática (com explicação do conceito e da fórmula usada).
Conceito: a força hidrostática sobre uma superfície plana é a integral da pressão sobre a área. Para uma superfície plana inclinada com pressão variando linearmente com a profundidade, existe uma forma simples:
F=\gamma\,A\,h_c,
onde h_c é a profundidade vertical do centróide (isto vem de \displaystyle F=\int_A \gamma z\,\mathrm{d}A = \gamma A \bar z).
Aplicando os números:
F=\gamma A h_c = 9779{,}8\cdot 16000\cdot 64.
Faço a conta em etapas:
16000\cdot 64 = 1\,024\,000,
F = 9779{,}8\cdot 1\,024\,000 = 1{,}00145152\times 10^{10}\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma razoável:
F \approx 1{,}0015\times 10^{10}\\ \mathrm{N}.
Comentário prático: você pode também expressar isso em mega-newtons: F\approx 1{,}0015\times 10^{4}\\ \mathrm{MN} ou em quilonewtons conforme prefira.

Passo 4

Cálculo da localização da força (centro de pressão). Vou deduzir de forma direta por integrais — é simples e evita confusão com momentos de inércia.
Conceito/derivação curta:
  • Tome coordenada s ao longo do plano medida a partir do topo ( s=0 no encontro com a superfície livre, s=L no pé).
  • A profundidade vertical correspondente é z(s)=s\sin\theta.
  • Um elemento de área é \mathrm{d}A = b\,\mathrm{d}s.
  • A força resultante é F=\int_0^L \gamma z(s)\,b\,\mathrm{d}s.
  • O momento estático em relação ao topo para encontrar a posição ao longo do plano é M_{\text{top}}=\int_0^L \gamma z(s)\,b\,s\,\mathrm{d}s.
  • Então a coordenada do ponto de aplicação ao longo do plano é s_p = M_{\text{top}}/F.
Cálculos:
F=\gamma b\sin\theta\int_0^L s\,\mathrm{d}s = \gamma b\sin\theta\cdot\frac{L^2}{2}.
M_{\text{top}}=\gamma b\sin\theta\int_0^L s^2\,\mathrm{d}s = \gamma b\sin\theta\cdot\frac{L^3}{3}.
Logo
s_p=\frac{M_{\text{top}}}{F}=\frac{\frac{L^3}{3}}{\frac{L^2}{2}}=\frac{2}{3}L.
Interpretação: para um retângulo cuja pressão cresce linearmente a partir do topo, o centro de pressão ao longo do comprimento fica em 2/3 do comprimento a partir do topo.
Aplicando numericamente:
s_p=\frac{2}{3}\cdot 160 = 106{,}666\ldots\\ \mathrm{m}\approx 106{,}667\\ \mathrm{m}.
Profundidade vertical do centro de pressão:
h_p = s_p\sin\theta = 106{,}666\ldots \cdot 0{,}8 = 85{,}333\ldots\\ \mathrm{m}\approx 85{,}333\\ \mathrm{m}.
Comentário didático final: note a diferença entre o centróide (profundidade h_c=64\\ \mathrm{m}) e o centro de pressão (profundidade h_p\approx 85{,}33\\ \mathrm{m}). Como a pressão aumenta com a profundidade, o ponto de aplicação da força está mais abaixo que o centróide.

Resposta

F \approx 1{,}0015\times 10^{10}\\ \mathrm{N}.
\text{Distância ao longo do plano desde o topo: } s_p = 106{,}667\\ \mathrm{m}.â
\text{Profundidade vertical do centro de pressão: } h_p = 85{,}333\\ \mathrm{m}.ã

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