A barragem mostrada possui largura 100 m (na direção perpendicular ao plano do desenho). O plano inclinado confinado pela água tem 96 m na horizontal e 128 m na vertical, formando a face molhada.
Pede-se: a magnitude da força hidrostática e a localização da força (profundidade do centro de pressão e/ou distância ao longo do plano até o ponto de aplicação) na superfície inclinada.
Dados e hipóteses
- Água a
.
- Superfície livre no topo; pressão atmosférica externa desprezada.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- A magnitude da força hidrostática resultante sobre a face inclinada molhada.
- A localização dessa força: profundidade do centro de pressão (vertical abaixo da superfície livre) e/ou distância ao longo do plano desde o topo até o ponto de aplicação.
Dados fornecidos (listei tudo explicitamente):
- Largura perpendicular ao plano (para fora do desenho):
. - Projeção horizontal do plano:
. - Projeção vertical do plano:
. - Temperatura da água:
(usarei uma densidade típica a essa temperatura). - Superfície livre no topo; pressão atmosférica externa desprezada.
Dados assumidos/valores numéricos usados:
- Densidade da água a
: (valor tabelado aproximado). - Aceleração da gravidade:
. - Peso específico do fluido:
(vou calcular no próximo passo).
Observações geométricas imediatas (não resolvo nada ainda):
- O comprimento do plano inclinado é a hipotenusa do triângulo com catetos
e m; isto será usado para achar a área e a posição do centróide.
Passo 2
Calculemos a geometria e o peso específico do fluido (aqui ensino os conceitos básicos).
- Comprimento do plano inclinado
.
Explicação: usei o Teorema de Pitágoras porque o plano é a hipotenusa do triângulo cujo cateto horizontal vale
e vertical
.
- Ângulo de inclinação
e seno/cosseno úteis.
Comentário didático:
é a razão entre a componente vertical e a hipotenusa; isso facilita converter uma distância ao longo do plano para profundidade vertical.
- Área da face molhada (retângulo inclinado).
- Peso específico do líquido
.
Explicação:
é a força por unidade de volume (peso por volume). A pressão hidrostática à profundidade
é
.
- Profundidade do centróide da superfície (média das profundidades).
A posição do centróide ao longo do plano é. A profundidade vertical do centróide é
Comentário: para uma superfície plana inclinada e com o topo na superfície livre, o centróide fica no meio do comprimento.
Passo 3
Cálculo da magnitude da força hidrostática (com explicação do conceito e da fórmula usada).
Conceito: a força hidrostática sobre uma superfície plana é a integral da pressão sobre a área. Para uma superfície plana inclinada com pressão variando linearmente com a profundidade, existe uma forma simples:
onde
é a profundidade vertical do centróide (isto vem de
).
Aplicando os números:
Faço a conta em etapas:
Arredondando de forma razoável:
Comentário prático: você pode também expressar isso em mega-newtons:
ou em quilonewtons conforme prefira.
Passo 4
Cálculo da localização da força (centro de pressão). Vou deduzir de forma direta por integrais — é simples e evita confusão com momentos de inércia.
Conceito/derivação curta:
- Tome coordenada
ao longo do plano medida a partir do topo ( no encontro com a superfície livre, no pé). - A profundidade vertical correspondente é
. - Um elemento de área é
. - A força resultante é
. - O momento estático em relação ao topo para encontrar a posição ao longo do plano é
. - Então a coordenada do ponto de aplicação ao longo do plano é
.
Cálculos:
Logo
Interpretação: para um retângulo cuja pressão cresce linearmente a partir do topo, o centro de pressão ao longo do comprimento fica em
do comprimento a partir do topo.
Aplicando numericamente:
Profundidade vertical do centro de pressão:
Comentário didático final: note a diferença entre o centróide (profundidade
) e o centro de pressão (profundidade
). Como a pressão aumenta com a profundidade, o ponto de aplicação da força está mais abaixo que o centróide.