Janelas de observação de vidro serão instaladas em um aquário. Cada janela é circular com diâmetro 0,60 \mathrm{~m} e o centro está a 2,0 \mathrm{~m} abaixo do nível da água.
Pede-se: a força resultante da pressão da água na janela e a posição da linha de ação (profundidade do centro de pressão em relação ao nível livre).
Dados e hipóteses
  • Adote densidade da água a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
  • Janela vertical; considerar apenas pressão manométrica.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se a força resultante da pressão da água sobre a janela e a posição da linha de ação dessa força (profundidade do centro de pressão em relação ao nível livre).
  • Dados do enunciado: \text{diâmetro da janela } = 0{,}60\\ \mathrm{m}â
\text{logo } r=\frac{0{,}60}{2}=0{,}30\\ \mathrm{m}
\text{profundidade do centro da janela (centroide) } = 2{,}0\\ \mathrm{m}
\rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á
\text{adotamos } g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}
  • Hipóteses: janela plana e vertical; considerar apenas pressão manométrica (ou seja, desprezar pressão atmosférica uniforme).

Passo 2

Conceito básico: pressão hidrostática e força resultante sobre uma superfície plana
  • A pressão manométrica em uma profundidade y abaixo do nível livre é dada por p(y)=\rho g y,onde \rho é a densidade do fluido, g a gravidade e y a profundidade medida a partir do nível livre (unidades: \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}}).
  • A força resultante (módulo) sobre uma superfície plana imersa verticalmente é a integral da pressão sobre a área: F=\iint_{A} p\,\mathrm{d}A = \rho g \iint_{A} y\,\mathrm{d}A.Definindo a profundidade do centróide da área por \bar h = \dfrac{1}{A}\iint_A y\,\mathrm{d}A, isso simplifica para a fórmula prática F=\rho g \bar h A.Aqui:
    • A é a área da superfície ( \mathrm{m^{2}}),
    • \bar h é a profundidade do centróide (aqui dada como 2{,}0\\ \mathrm{m}),
    • F tem unidades de \mathrm{N}.

Passo 3

Calcular a área da janela circular
  • A área de um círculo é A=\pi r^{2}.
  • Com r=0{,}30\\ \mathrm{m}, A=\pi(0{,}30)^{2}=\pi\cdot 0{,}09\approx 0{,}282743\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a força resultante usando F=\rho g \bar h A
  • Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, \bar h=2{,}0\\ \mathrm{m} e A\approx 0{,}282743\\ \mathrm{m^{2}}, F = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0 \cdot 0{,}282743.
  • Calculemos passo a passo: p_{\text{centro}}=\rho g \bar h =1000\cdot 9{,}81\cdot 2{,}0=19620\\ \mathrm{Pa},
F = p_{\text{centro}}\cdot A =19620\cdot 0{,}282743\approx 5547{,}4\\ \mathrm{N}.
  • Portanto, a força resultante é aproximadamente 5{,}547\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Conceito de centro de pressão e derivação da fórmula usada
  • A profundidade do centro de pressão h_{p} (linha de ação) é a profundidade y onde podemos considerar que a força resultante age para produzir o mesmo momento em relação ao nível livre. Matematicamente, F\,h_{p} = \iint_{A} p(y)\,y\,\mathrm{d}A = \rho g \iint_{A} y^{2}\,\mathrm{d}A.
  • Usando F=\rho g \iint_A y\,\mathrm{d}A = \rho g A \bar h, obtemos h_{p}=\frac{\iint_A y^{2}\,\mathrm{d}A}{\iint_A y\,\mathrm{d}A} =\frac{A\bar h^{2}+I_{G}}{A\bar h} =\bar h + \frac{I_{G}}{A\bar h},onde I_{G} é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide (unidades \mathrm{m^{4}}).
  • Para uma área circular de raio r, o momento de inércia em relação a um diâmetro (eixo horizontal pelo centro) é I_{G}=\frac{\pi r^{4}}{4}.(Explicação curta: essa é uma fórmula padrão de mecânica das áreas; o momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro e é colinear com um diâmetro vale \pi r^{4}/4.)

Passo 6

Aplicar a fórmula ao círculo e calcular h_{p}
  • Substituindo I_{G}=\dfrac{\pi r^{4}}{4} e A=\pi r^{2} na expressão de h_{p}, h_{p}=\bar h + \frac{\dfrac{\pi r^{4}}{4}}{\pi r^{2}\,\bar h} =\bar h + \frac{r^{2}}{4\bar h}.Ou seja, para um círculo vertical, o acréscimo em relação ao centróide é \dfrac{r^{2}}{4\bar h}.
  • Com r=0{,}30\\ \mathrm{m} e \bar h=2{,}0\\ \mathrm{m}, \frac{r^{2}}{4\bar h}=\frac{(0{,}30)^{2}}{4\cdot 2{,}0}=\frac{0{,}09}{8}=0{,}01125\\ \mathrm{m}.
  • Logo h_{p}=2{,}0+0{,}01125=2{,}01125\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando de forma razoável (por exemplo, três algarismos significativos), h_{p}\approx 2{,}011\\ \mathrm{m} ou, com duas casas decimais, 2{,}01\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo numérico e interpretação rápida (ânimo!)
  • Força resultante: é a pressão média (pressão no centróide) multiplicada pela área. No nosso caso dá algo da ordem de poucas kN — ou seja, a janela recebe uma força considerável, por isso o vidro deve ser projetado adequadamente.
  • Centro de pressão: fica ligeiramente abaixo do centro geométrico da janela (a diferença aqui é pequena, só 0{,}01125\\ \mathrm{m}), porque a pressão aumenta com a profundidade; quanto maior a área ou mais distante do nível livre, maior o deslocamento do centro de pressão em relação ao centróide.

Resposta

F\approx 5{,}55\times 10^{3}\\ \mathrm{N}
h_{p}\approx 2{,}011\\ \mathrm{m}

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