Janelas de observação de vidro serão instaladas em um aquário. Cada janela é circular com diâmetro
e o centro está a
abaixo do nível da água.
Pede-se: a força resultante da pressão da água na janela e a posição da linha de ação (profundidade do centro de pressão em relação ao nível livre).
Dados e hipóteses
- Adote densidade da água a
.
- Janela vertical; considerar apenas pressão manométrica.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se a força resultante da pressão da água sobre a janela e a posição da linha de ação dessa força (profundidade do centro de pressão em relação ao nível livre).
- Dados do enunciado:
- Hipóteses: janela plana e vertical; considerar apenas pressão manométrica (ou seja, desprezar pressão atmosférica uniforme).
Passo 2
Conceito básico: pressão hidrostática e força resultante sobre uma superfície plana
- A pressão manométrica em uma profundidade
abaixo do nível livre é dada por onde é a densidade do fluido, a gravidade e a profundidade medida a partir do nível livre (unidades: ). - A força resultante (módulo) sobre uma superfície plana imersa verticalmente é a integral da pressão sobre a área:
Definindo a profundidade do centróide da área por , isso simplifica para a fórmula prática Aqui: -
é a área da superfície ( ), -
é a profundidade do centróide (aqui dada como ), -
tem unidades de .
-
Passo 3
Calcular a área da janela circular
- A área de um círculo é
- Com
,
Passo 4
Calcular a força resultante usando
- Substituindo
, , e , - Calculemos passo a passo:
- Portanto, a força resultante é aproximadamente
.
Passo 5
Conceito de centro de pressão e derivação da fórmula usada
- A profundidade do centro de pressão
(linha de ação) é a profundidade onde podemos considerar que a força resultante age para produzir o mesmo momento em relação ao nível livre. Matematicamente, - Usando
, obtemos onde é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide (unidades ). - Para uma área circular de raio
, o momento de inércia em relação a um diâmetro (eixo horizontal pelo centro) é (Explicação curta: essa é uma fórmula padrão de mecânica das áreas; o momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa pelo seu centro e é colinear com um diâmetro vale .)
Passo 6
Aplicar a fórmula ao círculo e calcular
- Substituindo
e na expressão de , Ou seja, para um círculo vertical, o acréscimo em relação ao centróide é . - Com
e , - Logo
- Arredondando de forma razoável (por exemplo, três algarismos significativos),
ou, com duas casas decimais, .
Passo 7
Resumo numérico e interpretação rápida (ânimo!)
- Força resultante: é a pressão média (pressão no centróide) multiplicada pela área. No nosso caso dá algo da ordem de poucas kN — ou seja, a janela recebe uma força considerável, por isso o vidro deve ser projetado adequadamente.
- Centro de pressão: fica ligeiramente abaixo do centro geométrico da janela (a diferença aqui é pequena, só
), porque a pressão aumenta com a profundidade; quanto maior a área ou mais distante do nível livre, maior o deslocamento do centro de pressão em relação ao centróide.