Determine os pontos da curva
onde a reta tangente é horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos na curva $ y = x^{3} - 3x^{2} + 2 $ onde a reta que toca a curva é horizontal. Isso envolve derivadas, que é uma parte da matemática que estuda as taxas de variação. Basicamente, uma reta tangente horizontal significa que a inclinação dessa reta é zero naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{3} - 3x^{2} + 2 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $ da curva. Para derivar, usamos a regra do poder.
A derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal. Isso significa que a inclinação da reta tangente é zero. Então, a gente iguala a derivada a zero e resolve para $ x $:
Vamos fatorar:
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
Passo 4
Com os valores de $ x $ encontrados, vamos substituir na função original para achar os valores correspondentes de $ y $:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 2 $:
Resposta
Então, os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal são $ (0, 2) $ e $ (2, -2) $.