Determine os pontos da curva y=x^3-3 x^2+2 onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os pontos na curva $ y = x^{3} - 3x^{2} + 2 $ onde a reta que toca a curva é horizontal. Isso envolve derivadas, que é uma parte da matemática que estuda as taxas de variação. Basicamente, uma reta tangente horizontal significa que a inclinação dessa reta é zero naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = x^{3} - 3x^{2} + 2 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $ da curva. Para derivar, usamos a regra do poder.
A derivada de $ x^{n} $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso:
y = x^3 - 3x^2 + 2

Passo 3

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal. Isso significa que a inclinação da reta tangente é zero. Então, a gente iguala a derivada a zero e resolve para $ x $:
x
Vamos fatorar:
3x^2 - 6x = 0
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
3x(x - 2) = 0

Passo 4

Com os valores de $ x $ encontrados, vamos substituir na função original para achar os valores correspondentes de $ y $:
Para $ x = 0 $:
x
Para $ x = 2 $:
y

Resposta

Então, os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal são $ (0, 2) $ e $ (2, -2) $.

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