6- Barreira de Potencial: Suponha a partícula incidindo na barreira vindo de
. Calcule o coeficiente de transmissão e de reflexão para os dois casos de energia.
Com
;
Com
Passo 1
O enunciado pede: calcular o coeficiente de transmissão e o coeficiente de reflexão para uma partícula que incide vindo de
As duas situações a tratar são:
- Caso A: (energia acima do topo — espalhamento por sobre a barreira com oscilação dentro).
Informações relevantes dadas:
- Partícula incidente pela esquerda (região
). - Queremos os coeficientes de transmissão
e reflexão (frações dos fluxos de probabilidade transmitido e refletido).
Nenhuma outra informação numérica (como massaou ) foi dada, então as respostas serão em termos de .]
Passo 2
Plano de resolução (alto nível, sem calcular ainda):
- Escrever as soluções gerais da equação de Schrödinger independente do tempo nas três regiões.
- Impor continuidade de
e em e para relacionar as amplitudes. - Calcular as amplitudes relativas (especialmente a amplitude transmitida em relação à incidente) e, a partir delas, o fluxo de probabilidade transmitido e refletido.
- Usar a definição de coeficiente de transmissão
e reflexão . Para as situações aqui (mesmo potencial nas regiões e ) resulta em e com e as amplitudes relativas.
Antes de aplicar: uma rápida aula sobre as quantidades que usaremos.
- A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D:
- Em regiões com potencial constante
const, a equação vira com
Se
,
é real e as soluções são ondas oscilatórias
. Se
, o número
é imaginário; escrevemos
com
real, e as soluções são exponenciais reais
.
- Fluxo de probabilidade (corrente) para uma função de onda unidimensional
é
Para ondas planas proporcionais a
com amplitude
, o fluxo é proporcional a
. Como aqui nas regiões externas o
é o mesmo, podemos usar
e
quando
é a amplitude incidente,
a refletida,
a transmitida.
Passo 3
Escrever as soluções em cada região (partícula vindo da esquerda):
- Defina
No interior da barreira, as formas dependem do caso (A ou B). Em geral, nas regiões externas (I e III) usaremos ondas com
.
Região I (
):
com
amplitude incidente e
refletida.
Região III (
):
somente onda transmitida para a direita (não vem onda da direita).
Região II (
):
- Caso A (
): escrevemos
- Caso B (
): escrevemos
Observação didática: escolhemos centrar a barreira em 0 (entre
e
) justamente para que as exponenciais fiquem simétricas; isso não altera nada fisicamente, só facilita álgebra.
Passo 4
Aplicar condições de contorno (continuidade de
e
) em
e
. Vou escrever as quatro equações gerais (válidas em ambos os casos, trocando a forma de
conforme necessário).
No ponto
:
No ponto
:
Essas quatro equações relacionam
. O objetivo é eliminar
e obter
em função de
, ou seja a amplitude de transmissão relativa
. A eliminação é um sistema linear; a forma algébrica completa dá uma expressão compacta conhecida que apresentarei na sequência (a eliminação é mecânica e pode ser feita por álgebra ou por matriz de transferência).
Passo 5
Resultado das contas (passo de eliminação — explicação do que cada termo representa)
- Depois de resolver o sistema linear (continuidade de
e ) obtém-se uma expressão para a amplitude de transmissão . É prático apresentar primeiro a forma para o caso geral oscilatório dentro da barreira ( ), e então obter o caso evanescente ( ) por substituição .
Para
(definindo
) a amplitude de transmissão é
Explicação curta: o numerador
vem da combinação das ondas de entrada e saída e do deslocamento de fase por atravessar a barreira; o denominador contém termos de
e
que expressam as múltiplas reflexões dentro da região II (fenômeno de interferência).
Para
(definindo
) substituímos
na expressão acima; usando
e
obtemos
Observação: aqui todos
são reais positivos; o denominador real se expressa com
e
por conta do caráter evanescente dentro da barreira.
Passo 6
A partir de
obtemos o coeficiente de transmissão
por
Como nas regiões externas o vetor de onda é o mesmo
, não há fator adicional de velocidade. Depois de simplificar o módulo quadrado das expressões acima obtemos fórmulas bem conhecidas e compactas para
.
Caso
(tunneling). Usando a expressão de
do passo anterior e simplificando o módulo ao quadrado (algumas identidades algébricas e o fato de
) chegamos a
Uma forma alternativa, escrevendo em termos de
e
, é
E a reflexão é simplesmente
Caso
(transmissão sobre a barreira). Repetindo a simplificação, com
real, obtemos
Usando
dá também a forma
E novamente
Comentário didático final sobre as fórmulas:
- No caso
a transmissão decai exponencialmente quando cresce (barreira alta/larga) devido ao ; isso é o tunelamento quântico. - No caso
aparecem ressonâncias de transmissão ( ) quando , i.e. (interferência construtiva entre múltiplas reflexões dentro da região II), fenômeno de transmissão perfeita por ressonância.
Resposta
Para
:
onde
e
Para
:
onde
e