6- Barreira de Potencial: Suponha a partícula incidindo na barreira vindo de x<0. Calcule o coeficiente de transmissão e de reflexão para os dois casos de energia.
Com 0 \leq E<V_{0};
V(x)=\left\{\begin{array}{c}0, \quad x<-\frac{a}{2} \text { e } x>\frac{a}{2} \\\ V_{0},-\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o coeficiente de transmissão e o coeficiente de reflexão para uma partícula que incide vindo de x<0\) sobre uma barreira retangular de altura \(V_{0}\) e largura \(a\), onde \[V(x)=\begin{cases} 0, & x<-\dfrac{a}{2}\\ \text{e}\\ x>\dfrac{a}{2},\\[6pt] V_{0}, & -\dfrac{a}{2}\le x\le\dfrac{a}{2}. \end{cases}
As duas situações a tratar são:
  • Caso A: 0 \le E < V_{0}\] (energia abaixo do topo da barreira — tunneling / decaimento exponencial dentro da barreira). - Caso B: \(E > V_{0} (energia acima do topo — espalhamento por sobre a barreira com oscilação dentro).
Informações relevantes dadas:
  • Partícula incidente pela esquerda (região x<-\tfrac{a}{2}).
  • Queremos os coeficientes de transmissão T e reflexão R (frações dos fluxos de probabilidade transmitido e refletido).
    Nenhuma outra informação numérica (como massa m ou a,V_0) foi dada, então as respostas serão em termos de m,\hbar,a,V_0,E.]

Passo 2

Plano de resolução (alto nível, sem calcular ainda):
  • Escrever as soluções gerais da equação de Schrödinger independente do tempo nas três regiões.
  • Impor continuidade de \psi e \psi' em x=-\tfrac{a}{2} e x=+\tfrac{a}{2} para relacionar as amplitudes.
  • Calcular as amplitudes relativas (especialmente a amplitude transmitida em relação à incidente) e, a partir delas, o fluxo de probabilidade transmitido e refletido.
  • Usar a definição de coeficiente de transmissão T=\dfrac{\text{fluxo transmitido}}{\text{fluxo incidente}} e reflexão R=\dfrac{\text{fluxo refletido}}{\text{fluxo incidente}}. Para as situações aqui (mesmo potencial nas regiões x<-\tfrac{a}{2} e x>\tfrac{a}{2}) resulta em T=|t|^{2} e R=|r|^{2} com t e r as amplitudes relativas.
Antes de aplicar: uma rápida aula sobre as quantidades que usaremos.
  • A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\psi = E\psi.
  • Em regiões com potencial constante V= const, a equação vira \psi'' + k^{2}\psi = 0 com
k^{2}=\frac{2m(E-V)}{\hbar^{2}}.
Se E>V, k é real e as soluções são ondas oscilatórias e^{\pm i k x}. Se E<V, o número k é imaginário; escrevemos k=i\kappa com \kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar real, e as soluções são exponenciais reais e^{\pm \kappa x}.
  • Fluxo de probabilidade (corrente) para uma função de onda unidimensional \psi é
j=\frac{\hbar}{m}\Im\!\left(\psi^{*}\frac{d\psi}{dx}\right).
Para ondas planas proporcionais a e^{ikx} com amplitude A, o fluxo é proporcional a |A|^{2}k/m. Como aqui nas regiões externas o k é o mesmo, podemos usar T=|F/A|^{2} e R=|B/A|^{2} quando A é a amplitude incidente, B a refletida, F a transmitida.

Passo 3

Escrever as soluções em cada região (partícula vindo da esquerda):
  • Defina
k \equiv \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}.
No interior da barreira, as formas dependem do caso (A ou B). Em geral, nas regiões externas (I e III) usaremos ondas com k.
Região I ( x<-\tfrac{a}{2}):
\psi_{I}(x)=A e^{ikx} + B e^{-ikx},
com A amplitude incidente e B refletida.
Região III ( x>\tfrac{a}{2}):
\psi_{III}(x)=F e^{ikx},
somente onda transmitida para a direita (não vem onda da direita).
Região II ( -\tfrac{a}{2}\le x\le \tfrac{a}{2}):
  • Caso A ( E<V_{0}): escrevemos
\kappa \equiv \sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}, \qquad \psi_{II}(x)=C e^{\kappa x} + D e^{-\kappa x}.
  • Caso B ( E>V_{0}): escrevemos
k_{2}\equiv \sqrt{\frac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}}, \qquad \psi_{II}(x)=C e^{ik_{2}x} + D e^{-ik_{2}x}.
Observação didática: escolhemos centrar a barreira em 0 (entre -a/2 e +a/2) justamente para que as exponenciais fiquem simétricas; isso não altera nada fisicamente, só facilita álgebra.

Passo 4

Aplicar condições de contorno (continuidade de \psi e \psi') em x=-\tfrac{a}{2} e x=+\tfrac{a}{2}. Vou escrever as quatro equações gerais (válidas em ambos os casos, trocando a forma de \psi_{II} conforme necessário).
No ponto x=-\tfrac{a}{2}:
\psi_{I}\!\left(-\tfrac{a}{2}\right)=\psi_{II}\!\left(-\tfrac{a}{2}\right), \qquad \psi'_{I}\!\left(-\tfrac{a}{2}\right)=\psi'_{II}\!\left(-\tfrac{a}{2}\right).
No ponto x=+\tfrac{a}{2}:
\psi_{II}\!\left(+\tfrac{a}{2}\right)=\psi_{III}\!\left(+\tfrac{a}{2}\right), \qquad \psi'_{II}\!\left(+\tfrac{a}{2}\right)=\psi'_{III}\!\left(+\tfrac{a}{2}\right).
Essas quatro equações relacionam A,B,C,D,F. O objetivo é eliminar B,C,D e obter F em função de A, ou seja a amplitude de transmissão relativa t\equiv F/A. A eliminação é um sistema linear; a forma algébrica completa dá uma expressão compacta conhecida que apresentarei na sequência (a eliminação é mecânica e pode ser feita por álgebra ou por matriz de transferência).

Passo 5

Resultado das contas (passo de eliminação — explicação do que cada termo representa)
  • Depois de resolver o sistema linear (continuidade de \psi e \psi') obtém-se uma expressão para a amplitude de transmissão t. É prático apresentar primeiro a forma para o caso geral oscilatório dentro da barreira ( E>V_{0}), e então obter o caso evanescente ( E<V_{0}) por substituição k_{2}\mapsto i\kappa.
Para E>V_{0} (definindo k_{2}=\sqrt{2m(E-V_{0})}/\hbar) a amplitude de transmissão é
t \;=\; \frac{2k k_{2}\,e^{-ik a}}{2k k_{2}\cos(k_{2}a)-i\big(k^{2}+k_{2}^{2}\big)\sin(k_{2}a)}.
Explicação curta: o numerador 2k k_{2}e^{-ika} vem da combinação das ondas de entrada e saída e do deslocamento de fase por atravessar a barreira; o denominador contém termos de \cos e \sin que expressam as múltiplas reflexões dentro da região II (fenômeno de interferência).
Para E<V_{0} (definindo \kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar) substituímos k_{2}=i\kappa na expressão acima; usando \cos(i\kappa a)=\operatorname{cosh}(\kappa a) e \sin(i\kappa a)=i\operatorname{sinh}(\kappa a) obtemos
t \;=\; \frac{2k \kappa\,e^{-ik a}}{2k \kappa\operatorname{cosh}(\kappa a) + (k^{2}-\kappa^{2})\operatorname{sinh}(\kappa a)}.
Observação: aqui todos k,\kappa são reais positivos; o denominador real se expressa com \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} por conta do caráter evanescente dentro da barreira.

Passo 6

A partir de t obtemos o coeficiente de transmissão T por
T = |t|^{2}.
Como nas regiões externas o vetor de onda é o mesmo k, não há fator adicional de velocidade. Depois de simplificar o módulo quadrado das expressões acima obtemos fórmulas bem conhecidas e compactas para T.
Caso E<V_{0} (tunneling). Usando a expressão de t do passo anterior e simplificando o módulo ao quadrado (algumas identidades algébricas e o fato de k^{2}+\kappa^{2}=2mV_{0}/\hbar^{2}) chegamos a
T \;=\; \frac{1}{1 + \left(\dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}\right)^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}.
Uma forma alternativa, escrevendo em termos de E e V_{0}, é
T \;=\; \frac{1}{1 + \dfrac{V_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_{0}-E)}}.
E a reflexão é simplesmente
R \;=\; 1-T.
Caso E>V_{0} (transmissão sobre a barreira). Repetindo a simplificação, com k_{2} real, obtemos
T \;=\; \frac{1}{1 + \left(\dfrac{k^{2}-k_{2}^{2}}{2k k_{2}}\right)^{2}\sin^{2}(k_{2} a)}.
Usando k^{2}-k_{2}^{2}=2mV_{0}/\hbar^{2} dá também a forma
T \;=\; \frac{1}{1 + \dfrac{V_{0}^{2}\sin^{2}(k_{2} a)}{4E(E-V_{0})}}.
E novamente
R \;=\; 1-T.
Comentário didático final sobre as fórmulas:
  • No caso E<V_{0} a transmissão decai exponencialmente quando \kappa a cresce (barreira alta/larga) devido ao \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a); isso é o tunelamento quântico.
  • No caso E>V_{0} aparecem ressonâncias de transmissão ( T=1) quando \sin(k_{2}a)=0, i.e. k_{2}a=n\pi (interferência construtiva entre múltiplas reflexões dentro da região II), fenômeno de transmissão perfeita por ressonância.

Resposta

Para 0 \le E < V_{0}:
T \;=\; \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{k^{2}+\kappa^{2}}{2k\kappa}\right)^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)} \qquad\text{e}\qquad R \;=\; 1-T,
onde \;k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}}\; e \;\kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}\;.
Para E > V_{0}:
T \;=\; \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{k^{2}-k_{2}^{2}}{2k k_{2}}\right)^{2}\sin^{2}(k_{2} a)} \qquad\text{e}\qquad R \;=\; 1-T,
onde \;k=\sqrt{\dfrac{2mE}{\hbar^{2}}}\; e \;k_{2}=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}}\;.

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