6- Barreira de Potencial: Suponha a partícula incidindo na barreira vindo de
. Calcule o coeficiente de transmissão e de reflexão para os dois casos de energia.
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o coeficiente de transmissão e o coeficiente de reflexão para uma partícula que incide vind a de
O enunciado fala em “dois casos de energia”; vou tratar explicitamente os dois casos que normalmente são pedidos:
- Caso 1: .
Informações dadas e que usarei:
- Partícula livre à esquerda (
) e à direita ( ), com potencial zero nessas regiões. - Barreira de altura
e largura na região central. - A partícula incide pela esquerda (onda incidente indo para
). - Calcular os coeficientes de reflexão
e transmissão (probabilidades), função da energia , de , de e das massas/constantes fundamentais.]
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger estacionária e as soluções gerais em cada região; definir os números de onda.
A equação independente do tempo (para massa
) é
Nas regiões onde
(regiões I e III) definimos o número de onda
Na região interna (II) se
definimos
e se
convém escrever
com
As soluções gerais (normalizadas por escolher amplitude da onda incidente = 1) são:
- Região I (
):
onde a primeira parcela é a onda incidente e a segunda é a onda refletida;
é a amplitude de reflexão.
- Região II (
):
(no caso
usar
, então isto é combinação de exponenciais reais decrescentes e crescentes).
- Região III (
):
onde
é a amplitude de transmissão.
Explicação física curta:
e
serão as probabilidades obtidas a partir das amplitudes
e
. Para regiões I e III com o mesmo potencial assintótico
e mesma energia
, o fluxo transmitido relativo ao incidente é
, logo
e conserva-se a probabilidade de corrente:
.
Passo 3
Impor as condições de continuidade (contínuas
e
) em
e
. Vou escrever as quatro equações e depois resolver para
e
.
Continuidade em
:
Continuidade em
:
Essas quatro equações lineares permitem eliminar
e
e obter
e
em função de
e
. Vou resolver de forma organizada: primeiro expressar
e
em termos de
, usando as equações em
.
Passo 4
Resolver as equações em
para
e
em função de
.
Defina
As equações em
ficam
Resolvendo esse sistema (soma e diferença) para
e
:
Voltando a
e
:
Passo 5
Substituir
e
nas equações em
e resolver para
. Vou mostrar a manipulação que leva a uma fórmula compacta para a amplitude
.
A equação de continuidade em
para
pode ser escrita usando as expressões acima; após alguma álgebra de substituição e simplificação (combinar exponenciais e fatorar
) obtém-se a amplitude de transmissão na forma padrão
Esta é a expressão complexa para a amplitude de transmissão. A derivação é apenas manipular as quatro equações lineares que montámos; o passo essencial foi eliminar
(feito no passo anterior) e isolar
.
Explicação rápida: a expressão acima sintetiza interferência das ondas interiores na barreira (exponenciais com
) e desajuste de impedâncias (diferença entre
e
).
Passo 6
Obter a probabilidade de transmissão
e de reflexão
a partir de
e
. Para as regiões I e III com o mesmo
(mesmo potencial assintótico), o fluxo transmitido relativo ao incidente é simplesmente
. Assim
e
.
Simplificando
a partir da expressão de
chega-se à forma real e elegante (usar identidade com funções trigonométricas ao manipular exponenciais): para
(ou seja
real) tem-se
Aqui usei a relação
e simplificações que transformam o denominador complexo em termo envolvendo
. Portanto
Para
(barreira acima da energia;
com
) as funções trigonométricas viram hiperbólicas
, e a expressão correspondente torna-se
onde
E novamente
Comentário didático: essas expressões mostram dois regimes distintos:
- Para
há possibilidade de ressonâncias quando , i.e. ; nesses pontos (transmissão perfeita por ressonância de interferência dentro da barreira). - Para
é tipicamente muito pequeno e decai exponencialmente com devido ao — fenômeno de tunelamento quântico.
Passo 7
Resumo prático de como usar estas fórmulas na prova (passo-a-passo curto):
- Calcular
. - Se
calcular e usar
- Se
calcular e usar
- Lembre-se:
e são números entre e e satisfazem .
Força aí — com essas fórmulas você resolve qualquer questão sobre barreira retangular com energia maior ou menor que
. Faça um exemplo numérico se quiser praticar substituindo valores e conferindo ordens de grandeza.
Resposta
Para
:
onde
Para
:
onde