6- Barreira de Potencial: Suponha a partícula incidindo na barreira vindo de x<0. Calcule o coeficiente de transmissão e de reflexão para os dois casos de energia.
\operatorname{Com} E>V_{0}.
V(x)=\left\{\begin{array}{c}0, \quad x<-\frac{a}{2} \text { e } x>\frac{a}{2} \\\ V_{0},-\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o coeficiente de transmissão e o coeficiente de reflexão para uma partícula que incide vind a de x<0\) sobre a barreira de potencial \[V(x)=\begin{cases} 0, & x<-\dfrac{a}{2}\\ \text{e}\\ x>\dfrac{a}{2},\\[4pt] V_0, & -\dfrac{a}{2}\le x\le\dfrac{a}{2}. \end{cases}
O enunciado fala em “dois casos de energia”; vou tratar explicitamente os dois casos que normalmente são pedidos:
  • Caso 1: E>V_0\]. - Caso 2: \(E<V_0.
Informações dadas e que usarei:
  • Partícula livre à esquerda ( x<-\tfrac{a}{2}) e à direita ( x>\tfrac{a}{2}), com potencial zero nessas regiões.
  • Barreira de altura V_0 e largura a na região central.
  • A partícula incide pela esquerda (onda incidente indo para +x).
  • Calcular os coeficientes de reflexão R e transmissão T (probabilidades), função da energia E, de V_0, de a e das massas/constantes fundamentais.]

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger estacionária e as soluções gerais em cada região; definir os números de onda.
A equação independente do tempo (para massa m) é
-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Nas regiões onde V=0 (regiões I e III) definimos o número de onda
k_1=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
Na região interna (II) se E>V_0 definimos
k_2=\dfrac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar},
e se E<V_0 convém escrever k_2=i\kappa com
\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.
As soluções gerais (normalizadas por escolher amplitude da onda incidente = 1) são:
  • Região I ( x<-\tfrac{a}{2}):
\psi_I(x)=\mathrm{e}^{i k_1 x}+r\,\mathrm{e}^{-i k_1 x},
onde a primeira parcela é a onda incidente e a segunda é a onda refletida; r é a amplitude de reflexão.
  • Região II ( -\tfrac{a}{2}\le x\le \tfrac{a}{2}):
\psi_{II}(x)=A\,\mathrm{e}^{i k_2 x}+B\,\mathrm{e}^{-i k_2 x}
(no caso E<V_0 usar k_2=i\kappa, então isto é combinação de exponenciais reais decrescentes e crescentes).
  • Região III ( x>\tfrac{a}{2}):
\psi_{III}(x)=t\,\mathrm{e}^{i k_1 x},
onde t é a amplitude de transmissão.
Explicação física curta: R e T serão as probabilidades obtidas a partir das amplitudes r e t. Para regiões I e III com o mesmo potencial assintótico V=0 e mesma energia E, o fluxo transmitido relativo ao incidente é |t|^{2}, logo
T=|t|^{2},\qquad R=|r|^{2},
e conserva-se a probabilidade de corrente: R+T=1.

Passo 3

Impor as condições de continuidade (contínuas \psi e \psi') em x=-\tfrac{a}{2} e x=+\tfrac{a}{2}. Vou escrever as quatro equações e depois resolver para t e r.
Continuidade em x=+\tfrac{a}{2}:
A\,\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}}+B\,\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}}=t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}},
i k_2\big(A\,\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}}-B\,\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}}\big)=i k_1\,t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}.
Continuidade em x=-\tfrac{a}{2}:
\mathrm{e}^{-i k_1 \frac{a}{2}}+r\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}=A\,\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}}+B\,\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}},
i k_1\big(-\mathrm{e}^{-i k_1 \frac{a}{2}}+r\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}\big)=i k_2\big(-A\,\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}}+B\,\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}}\big).
Essas quatro equações lineares permitem eliminar A e B e obter r e t em função de k_1,k_2 e a. Vou resolver de forma organizada: primeiro expressar A e B em termos de t, usando as equações em x=+\tfrac{a}{2}.

Passo 4

Resolver as equações em x=+\tfrac{a}{2} para A e B em função de t.
Defina
C\equiv A\,\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}},\qquad D\equiv B\,\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}}.
As equações em +\tfrac{a}{2} ficam
C+D = t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}},
k_2(C-D)=k_1\,t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}.
Resolvendo esse sistema (soma e diferença) para C e D:
C = t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}\;\frac{1}{2}\Big(1+\dfrac{k_1}{k_2}\Big), \qquad D = t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}\;\frac{1}{2}\Big(1-\dfrac{k_1}{k_2}\Big).
Voltando a A e B:
A = C\,\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}} = t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}\,\frac{1}{2}\Big(1+\dfrac{k_1}{k_2}\Big)\mathrm{e}^{-i k_2 \frac{a}{2}},
B = D\,\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}} = t\,\mathrm{e}^{i k_1 \frac{a}{2}}\,\frac{1}{2}\Big(1-\dfrac{k_1}{k_2}\Big)\mathrm{e}^{i k_2 \frac{a}{2}}.

Passo 5

Substituir A e B nas equações em x=-\tfrac{a}{2} e resolver para t. Vou mostrar a manipulação que leva a uma fórmula compacta para a amplitude t.
A equação de continuidade em -\tfrac{a}{2} para \psi pode ser escrita usando as expressões acima; após alguma álgebra de substituição e simplificação (combinar exponenciais e fatorar t) obtém-se a amplitude de transmissão na forma padrão
t=\dfrac{4k_1 k_2\,\mathrm{e}^{-i k_1 a}}{(k_1+k_2)^{2}\,\mathrm{e}^{-i k_2 a}-(k_1-k_2)^{2}\,\mathrm{e}^{i k_2 a}}.
Esta é a expressão complexa para a amplitude de transmissão. A derivação é apenas manipular as quatro equações lineares que montámos; o passo essencial foi eliminar A,B (feito no passo anterior) e isolar t.
Explicação rápida: a expressão acima sintetiza interferência das ondas interiores na barreira (exponenciais com k_2 a) e desajuste de impedâncias (diferença entre k_1 e k_2).

Passo 6

Obter a probabilidade de transmissão T e de reflexão R a partir de t e r. Para as regiões I e III com o mesmo k_1 (mesmo potencial assintótico), o fluxo transmitido relativo ao incidente é simplesmente |t|^{2}. Assim T=|t|^{2} e R=1-T.
Simplificando |t|^{2} a partir da expressão de t chega-se à forma real e elegante (usar identidade com funções trigonométricas ao manipular exponenciais): para E>V_0 (ou seja k_2 real) tem-se
T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(E-V_0)}\sin^{2}(k_2 a)}.
Aqui usei a relação
k_1^{2}-k_2^{2}=\dfrac{2mV_0}{\hbar^{2}},
e simplificações que transformam o denominador complexo em termo envolvendo \sin^{2}(k_2 a). Portanto
R=1-T=\dfrac{\dfrac{V_0^{2}}{4E(E-V_0)}\sin^{2}(k_2 a)}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(E-V_0)}\sin^{2}(k_2 a)}.
Para E<V_0 (barreira acima da energia; k_2=i\kappa com \kappa>0) as funções trigonométricas viram hiperbólicas \sin(i\kappa a)=i\operatorname{sinh}(\kappa a), e a expressão correspondente torna-se
T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)},
onde
\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.
E novamente
R=1-T=\dfrac{\dfrac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}.
Comentário didático: essas expressões mostram dois regimes distintos:
  • Para E>V_0 há possibilidade de ressonâncias quando \sin(k_2 a)=0, i.e. k_2 a=n\pi; nesses pontos T=1 (transmissão perfeita por ressonância de interferência dentro da barreira).
  • Para E<V_0 T é tipicamente muito pequeno e decai exponencialmente com a devido ao \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) — fenômeno de tunelamento quântico.

Passo 7

Resumo prático de como usar estas fórmulas na prova (passo-a-passo curto):
  1. Calcular k_1=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
  2. Se E>V_0 calcular k_2=\dfrac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar} e usar
T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(E-V_0)}\sin^{2}(k_2 a)},\qquad R=1-T.
  1. Se E<V_0 calcular \kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar} e usar
T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)},\qquad R=1-T.
  1. Lembre-se: T e R são números entre 0 e 1 e satisfazem T+R=1.
Força aí — com essas fórmulas você resolve qualquer questão sobre barreira retangular com energia maior ou menor que V_0. Faça um exemplo numérico se quiser praticar substituindo valores e conferindo ordens de grandeza.

Resposta

Para E>V_0:
T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(E-V_0)}\sin^{2}\!\big(k_2 a\big)},\qquad R=1-T,
onde \;k_2=\dfrac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}.
Para E<V_0:
T=\dfrac{1}{1+\dfrac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)}\operatorname{sinh}^{2}\!\big(\kappa a\big)},\qquad R=1-T,
onde \;\kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.

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