2- Mostre que quando o potencial é do tipo V=V(|\mathbf{r}|), ou seja, o potencial possui simetria esférica e só depende da distância a um centro de forças (campo central), a equação de Schroedinger, em coordenadas esféricas, pode ser separada nas três coordenadas, r, \theta e \varphi. Deduza as três equações.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
Informação: o potencial é do tipo V=V(|\mathbf{r}|), ou seja, depende apenas da distância ao centro, r=|\mathbf{r}| (simetria esférica, campo central).
Informação implícita: queremos a equação de Schrödinger estacionária (time-independent) para uma partícula de massa \mu sujeita a V(r).
Pedido: mostrar que, em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), a equação de Schrödinger pode ser separada nas três coordenadas r,\theta,\varphi e deduzir as três equações resultantes (a equação em \varphi, a equação em \theta e a equação radial).
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (estacionária) para uma partícula com massa \mu:
Motivação: o potencial depende só de r, então ao substituir a forma do laplaciano a dependência angular aparece multiplicada por 1/r^2 e é natural que a equação separe a parte radial da angular. A separação por produto é a técnica padrão.
Passo 5
Substituindo \psi=R\Theta\Phi na equação de Schrödinger e usando o laplaciano em esféricas, obtemos
Agora observe que os dois primeiros termos dependem só de r e os dois últimos dependem só de \theta,\varphi. Isso significa que a soma de uma expressão só em r e outra só em (\theta,\varphi) é zero para todo (r,\theta,\varphi). Portanto cada grupo deve ser igual a uma constante (separação de variáveis).
Passo 6
Chamamos a constante de separação de \lambda. Colocamos os termos assim:
\underbrace{\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu r^2}{\hbar^2}\bigl[E-V(r)\bigr]}_{\text{função só de }r} + \underbrace{\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}}_{\text{função só de }\theta,\varphi} =0.
A escolha de sinal (uma é \lambda e a outra -\lambda) é apenas convenção; o importante é que a soma seja zero.
Passo 7
Agora separamos a parte angular ainda mais: assumimos \Theta(\theta)\Phi(\varphi) e isolamos a dependência em \varphi. Multiplicando a equação angular por \sin^2\theta e dividindo por \Theta\Phi obtemos
O lado esquerdo depende só de \varphi e o direito só de \theta, então ambos devem ser iguais a uma constante. Chamamos essa constante de -m^2. Assim surgem as equações separadas:
a) Equação em \varphi:
\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + m^2\Phi = 0.
Impondo a condição física de que a função de onda deve ser única quando \varphi e \varphi+2\pi representam o mesmo ponto (periodicidade 2\pi), obtemos a quantização de m:
Esta é a equação de Legendre associada (forma angular do operador L^2). Para que \Theta(\theta) seja finita e regular em \theta=0 e \theta=\pi (condições físicas de normalização e regularidade na esfera), a constante \lambda precisa ser da forma
\lambda = \ell(\ell+1),
onde \ell é um inteiro não-negativo, \ell=0,1,2,\dots, e m satisfaz |m|\le \ell. As soluções regulares são os polinômios associados P_\ell^{m}(\cos\theta) e, combinando com \Phi_m(\varphi), formam as harmônicas esféricas
Essa é a forma padrão da equação radial. É útil definir a função radial reduzida
u(r) = r\,R(r),
porque ela elimina o termo de primeira derivada quando escrevemos a equação como uma equação de Sturm–Liouville de segunda ordem padrão. Substituindo R(r)=u(r)/r e simplificando, obtemos a forma inteira da equação radial reduzida:
Aqui o termo \dfrac{\hbar^2}{2\mu}\dfrac{\ell(\ell+1)}{r^2} é chamado termo centrífugo (potencial efetivo adicional devido ao momento angular).
Passo 10
Resumo do que fizemos e interpretação física:
A separação é possível porque V depende só de r e o laplaciano em esféricas separa naturalmente radiais e angulares.
A separação introduz duas constantes de separação: m (inteiro, associado à periodicidade em \varphi) e \ell(\ell+1) (com \ell inteiro não-negativo, associado ao autovalor do quadrado do momento angular).
As soluções angulares são as harmônicas esféricas Y_\ell^m(\theta,\varphi).
A equação radial contém o potencial efetivo V(r)+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2) e pode ser convertida numa equação de Schrödinger unidimensional para u(r)=rR(r).