2- Mostre que quando o potencial é do tipo V=V(|\mathbf{r}|), ou seja, o potencial possui simetria esférica e só depende da distância a um centro de forças (campo central), a equação de Schroedinger, em coordenadas esféricas, pode ser separada nas três coordenadas, r, \theta e \varphi. Deduza as três equações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informação: o potencial é do tipo V=V(|\mathbf{r}|), ou seja, depende apenas da distância ao centro, r=|\mathbf{r}| (simetria esférica, campo central).
  • Informação implícita: queremos a equação de Schrödinger estacionária (time-independent) para uma partícula de massa \mu sujeita a V(r).
  • Pedido: mostrar que, em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), a equação de Schrödinger pode ser separada nas três coordenadas r,\theta,\varphi e deduzir as três equações resultantes (a equação em \varphi, a equação em \theta e a equação radial).

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (estacionária) para uma partícula com massa \mu:
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(r)\,\psi(\mathbf{r}) = E\,\psi(\mathbf{r}).
Aqui:
  • \psi(\mathbf{r}) é a função de onda (dependendo de (r,\theta,\varphi));
  • \hbar é a constante reduzida de Planck;
  • E é a energia total (autovalor) procurada;
  • \nabla^2 é o laplaciano em coordenadas espaciais.

Passo 3

Para trabalhar em coordenadas esféricas usamos a forma do laplaciano em (r,\theta,\varphi). A forma conhecida do laplaciano em esféricas é
\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
Explicando as peças:
  • O termo com derivadas em r representa a parte radial do laplaciano (envolve r^2 por causa do jacobiano das coordenadas);
  • Os termos com \theta,\varphi formam a parte angular (proporcional a 1/r^2).

Passo 4

Tentamos separar variáveis assumindo um produto entre funções que dependem só de uma coordenada:
\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)\,\Theta(\theta)\,\Phi(\varphi).
Motivação: o potencial depende só de r, então ao substituir a forma do laplaciano a dependência angular aparece multiplicada por 1/r^2 e é natural que a equação separe a parte radial da angular. A separação por produto é a técnica padrão.

Passo 5

Substituindo \psi=R\Theta\Phi na equação de Schrödinger e usando o laplaciano em esféricas, obtemos
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\left[ \frac{1}{r^2}\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{1}{\Phi\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} \right] + V(r) = E.
Multiplicando ambos os lados por -\dfrac{2\mu r^2}{\hbar^2} e reorganizando:
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu r^2}{\hbar^2}\bigl[E-V(r)\bigr] + \frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = 0.
Agora observe que os dois primeiros termos dependem só de r e os dois últimos dependem só de \theta,\varphi. Isso significa que a soma de uma expressão só em r e outra só em (\theta,\varphi) é zero para todo (r,\theta,\varphi). Portanto cada grupo deve ser igual a uma constante (separação de variáveis).

Passo 6

Chamamos a constante de separação de \lambda. Colocamos os termos assim:
\underbrace{\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu r^2}{\hbar^2}\bigl[E-V(r)\bigr]}_{\text{função só de }r} + \underbrace{\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}}_{\text{função só de }\theta,\varphi} =0.çãóçãó
Então colocamos
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu r^2}{\hbar^2}\bigl[E-V(r)\bigr] = \lambda,
\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -\lambda.
A escolha de sinal (uma é \lambda e a outra -\lambda) é apenas convenção; o importante é que a soma seja zero.

Passo 7

Agora separamos a parte angular ainda mais: assumimos \Theta(\theta)\Phi(\varphi) e isolamos a dependência em \varphi. Multiplicando a equação angular por \sin^2\theta e dividindo por \Theta\Phi obtemos
\sin\theta\frac{1}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -\lambda\sin^2\theta.
Rearranjando para separar \varphi:
\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -\left[ \lambda\sin^2\theta + \sin\theta\frac{1}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) \right].
O lado esquerdo depende só de \varphi e o direito só de \theta, então ambos devem ser iguais a uma constante. Chamamos essa constante de -m^2. Assim surgem as equações separadas:
a) Equação em \varphi:
\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + m^2\Phi = 0.
Impondo a condição física de que a função de onda deve ser única quando \varphi e \varphi+2\pi representam o mesmo ponto (periodicidade 2\pi), obtemos a quantização de m:
\Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi) \quad\Rightarrow\quad m\in\mathbb{Z}.
A solução normalizada é tipicamente
\Phi_m(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i m\varphi}.

Passo 8

b) Usando a constante -m^2 na equação angular sobrante obtemos a equação para \Theta(\theta):
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left(\lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)\Theta = 0.
Esta é a equação de Legendre associada (forma angular do operador L^2). Para que \Theta(\theta) seja finita e regular em \theta=0 e \theta=\pi (condições físicas de normalização e regularidade na esfera), a constante \lambda precisa ser da forma
\lambda = \ell(\ell+1),
onde \ell é um inteiro não-negativo, \ell=0,1,2,\dots, e m satisfaz |m|\le \ell. As soluções regulares são os polinômios associados P_\ell^{m}(\cos\theta) e, combinando com \Phi_m(\varphi), formam as harmônicas esféricas
Y_\ell^m(\theta,\varphi)=N\,P_\ell^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi},
com N constante de normalização.

Passo 9

c) Substituindo \lambda=\ell(\ell+1) na equação radial dada em Passo 6 obtemos a equação radial para R(r):
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu}{\hbar^2}\bigl[E-V(r)\bigr]R - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2}R = 0.
Essa é a forma padrão da equação radial. É útil definir a função radial reduzida
u(r) = r\,R(r),
porque ela elimina o termo de primeira derivada quando escrevemos a equação como uma equação de Sturm–Liouville de segunda ordem padrão. Substituindo R(r)=u(r)/r e simplificando, obtemos a forma inteira da equação radial reduzida:
-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]u = E\,u.
Aqui o termo \dfrac{\hbar^2}{2\mu}\dfrac{\ell(\ell+1)}{r^2} é chamado termo centrífugo (potencial efetivo adicional devido ao momento angular).

Passo 10

Resumo do que fizemos e interpretação física:
  • A separação é possível porque V depende só de r e o laplaciano em esféricas separa naturalmente radiais e angulares.
  • A separação introduz duas constantes de separação: m (inteiro, associado à periodicidade em \varphi) e \ell(\ell+1) (com \ell inteiro não-negativo, associado ao autovalor do quadrado do momento angular).
  • As soluções angulares são as harmônicas esféricas Y_\ell^m(\theta,\varphi).
  • A equação radial contém o potencial efetivo V(r)+\hbar^2\ell(\ell+1)/(2\mu r^2) e pode ser convertida numa equação de Schrödinger unidimensional para u(r)=rR(r).

Resposta

\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + m^2\Phi = 0
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[\ell(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{2\mu}{\hbar^2}\bigl[E-V(r)\bigr]R - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2}R = 0

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