(Barry James) Sejam
e
independentes, todas com distribuição uniforme no intervalo
. Calcule a probabilidade da equação
ter raízes reais.
Passo 1
O enunciado diz que
são independentes e uniformes em
e pede
Para uma equação quadrática
ter raízes reais, basta que o discriminante seja não–negativo, isto é
Logo queremos
Passo 2
Defina, para cada
,
Então
Passo 3
Para calcular
note que em
a condição
equivale a
Se
0<= x<= c então
c/x>=1 e o comprimento em
z é
1 . Se
c<= x<=1 então o comprimento é
c/x . Assim
Passo 4
Voltando a
c=y^2/4 , temos
Passo 5
Calcule separadamente
e note que
de modo que
Sabendo que
integral0^1y^2ln y,dy=-tfrac19 e
integral0^1y^2,dy=tfrac13 , obtemos
Passo 6
Juntando tudo,