(Barry James) Sejam X, Y e Z independentes, todas com distribuição uniforme no intervalo (0,1). Calcule a probabilidade da equação X t^2+Y t+Z=0 ter raízes reais.

Passo 1

O enunciado diz que X,Y,Z são independentes e uniformes em (0,1) e pede
Pl(Xt^2 + Yt + Z = 0 tem raízes reaisr) í
Para uma equação quadrática Xt^2+Yt+Z=0 ter raízes reais, basta que o discriminante seja não–negativo, isto é
Y^2 - 4XZ >= 0
Logo queremos
Pl(Y^2 >= 4XZr) =integral0^1!integral0^1!integral0^1 1y^2>=4xz,dx,dz,dy

Passo 2

Defina, para cada yin[0,1],
A(y) =integral0^1!integral0^11xz<= c,dx,dz, com c=y^24
Então
P(Y^2>=4XZ) =integral0^1A(y),dy

Passo 3

Para calcular A(y) note que em [0,1]^2 a condição xz<= c equivale a
A(y) =integral0^1l|z: z<= c/x,;z<=1r|,dx
Se 0<= x<= c então c/x>=1 e o comprimento em z é 1. Se c<= x<=1 então o comprimento é c/x. Assim
A(y) =integral0^c1,dx+integralc^1cx,dx =c + cintegralc^11x,dx =c - cln c

Passo 4

Voltando a c=y^2/4, temos
P =integral0^1gl(c - cln cgr)dy =integral0^1y^24,dy ;-;integral0^1y^24ln!l(y^24r),dy

Passo 5

Calcule separadamente
integral0^1y^24,dy =14cdot13 =112,
e note que
ln!l(y^24r) =2ln y - ln4,
de modo que
integral0^1y^24ln!l(y^24r),dy =14l[ 2!integral0^1y^2ln y,dy -ln4!integral0^1y^2,dy r]
Sabendo que integral0^1y^2ln y,dy=-tfrac19 e integral0^1y^2,dy=tfrac13, obtemos
integral0^1y^24ln!l(y^24r),dy =14l[2cdotl(-tfrac19r)-ln4cdottfrac13r] =-236-ln412

Passo 6

Juntando tudo,
P =112 -l(-236-ln412r) =112+236+ln412 =536+112cdot2ln2 =536+16ln2

Resposta

boxedP=536+16ln2

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