Sejam X e Y independentes, ambas assumindo valores no intervalo ( 0,1 ). Suponha que X admite densidade f(x)=2 x e que Y admite densidade g(y)=3 y^2. Calcule P(X>Y).

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes em (0,1) com densidades
f(x)=2x, g(y)=3y^2,
e pede a probabilidade Pr(X>Y). Vamos usar a definição de probabilidade para variáveis independentes e integrar sobre a região (x,y):0<y<x<1.

Passo 2

Por independência,
Pr(X>Y) =integral0^1integral0^xf(x),g(y),dy,dx

Passo 3

Primeiro calculemos a integral interna em y:
integral0^xg(y),dy =integral0^x3y^2,dy =l[y^3r]0^x =x^3
Substituindo em Pr(X>Y):
Pr(X>Y) =integral0^12xcdot x^3,dx =integral0^12x^4,dx

Passo 4

Agora integramos em x:
integral0^12x^4,dx =2cdotx^55g|0^1 =25

Resposta

Pr(X>Y)=tfrac25

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