(Barry James) Suponha que o vetor aleatório ( ) tenha distribuição uniforme no quadrado de vértices e .
(a) Obtenha a densidade conjunta dentro do quadrado.
(b) Obtenha a distribuição marginal de .
Passo 1
O enunciado diz que é uniforme no losango de vértices , , , . O conteúdo é distribuição contínua uniforme em região do plano, em que a densidade é constante dentro da região e zero fora. Para resolver, precisamos calcular a área do losango e depois integrar a densidade conjunta para obter a marginal de .
Passo 2
Para achar a densidade conjunta, primeiro calculamos a área do losango. As diagonais medem (horizontal) e (vertical). A área de um losango é
Passo 3
Como a distribuição é uniforme, a densidade conjunta vale uma constante dentro do losango e zero fora, e essa constante é o inverso da área. Logo,
Passo 4
Para obter a distribuição marginal de X, integramos fX,Y(x,y) em y. Para um dado x em [-1,1], o ponto (x,y) pertence ao losango se |y|<=1-|x|. Assim,