(Barry James) Suponha que o vetor aleatório ( X, Y ) tenha distribuição uniforme no quadrado de vértices (-1,0),(0,1),(1,0) e (0,-1).
(a) Obtenha a densidade conjunta dentro do quadrado.
(b) Obtenha a distribuição marginal de X.

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniforme no losango de vértices (-1,0), (0,1), (1,0), (0,-1). O conteúdo é distribuição contínua uniforme em região do plano, em que a densidade é constante dentro da região e zero fora. Para resolver, precisamos calcular a área do losango e depois integrar a densidade conjunta para obter a marginal de X.

Passo 2

Para achar a densidade conjunta, primeiro calculamos a área do losango. As diagonais medem d1=2 (horizontal) e d2=2 (vertical). A área de um losango é
Área = d1,d22 = 2cdot22 = 2 Á

Passo 3

Como a distribuição é uniforme, a densidade conjunta vale uma constante dentro do losango e zero fora, e essa constante é o inverso da área. Logo,
fX,Y(x,y) = 12, & se |x|+|y|<=1, 0, & caso contrário á

Passo 4

Para obter a distribuição marginal de X, integramos fX,Y(x,y) em y. Para um dado x em [-1,1], o ponto (x,y) pertence ao losango se |y|<=1-|x|. Assim,
fX(x) = integral-(1-|x|)^,1-|x| 12,dy = 12l[,2,(1-|x|)r] = 1 - |x|
Fora de [-1,1] a marginal é zero.

Resposta

(a)
fX,Y(x,y) = 12, & |x|+|y|<=1, 0, & caso contrário á
(b)
fX(x) = 1 - |x|, & -1 <= x <= 1, 0, & caso contrário á

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