Seja ( X, Y ) vetor aleatório no triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0) admitindo densidade f(x, y)=c x^2 y.
(a) Obtenha o valor de c.
(b) Determine as distribuições marginais de X e de Y.
(c) Obtenha a distribuição condicional de Y dado que X=x, para -1<x<1.
(d) Obtenha a distribuição condicional de X dado que Y=y, para 0<y<1.
(e) Calcule P(Y<1 / 2 mid X=0).
(f) Calcule P(X>0 mid Y=1 / 2). Interprete esse resultado a partir da ideia da preservação de chances relativas da distribuição condicional.

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório (X,Y) com densidade
f(x,y)=c,x^2y
suportada no triângulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0). Vamos precisar de integração dupla em regiões poligonais para achar a constante de normalização c, depois usar definições de densidade marginal e condicional e, por fim, calcular probabilidades condicionais específicas.

Passo 2

Para achar c usamos a normalização
integral duplaTc,x^2y,dx,dy=1,
onde T é o triângulo. Note que, para xin[-1,0], a aresta superior é y=x+1, e para xin[0,1] é y=1-x. Assim
integralx=-1^0integraly=0^x+1c,x^2y,dy,dx +integralx=0^1integraly=0^1-xc,x^2y,dy,dx=1

Passo 3

Calculemos a integral genérica
I=integral0^1u^2(1-u)^2du =integral0^1(u^2-2u^3+u^4)du =l[tfracu^33-tfrac2u^44+tfracu^55r]0^1 =tfrac13-tfrac12+tfrac15=tfrac130
Cada parte do triângulo contribui com tfracc2I, e somando dá cI=1. Logo
c=1I=30

Passo 4

A densidade marginal de X é
fX(x)=integraly=0^g(x)30,x^2y,dy =15,x^2l[g(x)r]^2,
onde
g(x)= x+1,&-1<= x<=0, 1-x,&0<= x<=1, 0,&caso contrário á
Portanto
fX(x)= 15,x^2(x+1)^2,&-1<= x<=0, 15,x^2(1-x)^2,&0<= x<=1, 0,&caso contrário á

Passo 5

A densidade marginal de Y é
fY(y)=integralx=y-1^,1-y30,x^2y,dx =30,yl[tfracx^33r]x=y-1^,1-y =10,yl[(1-y)^3-(y-1)^3r]
Como (y-1)^3=-(1-y)^3, resulta
fY(y)=20,y,(1-y)^3, 0<= y<=1,
e zero fora desse intervalo.

Passo 6

A densidade condicional de Y dado X=x é
fYmid X(ymid x) =f(x,y)fX(x) =30,x^2y15,x^2[g(x)]^2 =2,y[g(x)]^2,
com 0<= y<= g(x) e g(x) como no passo 4.

Passo 7

A densidade condicional de X dado Y=y é
fXmid Y(xmid y) =f(x,y)fY(y) =30,x^2y20,y,(1-y)^3 =3,x^22,(1-y)^3,
para y-1<= x<=1-y.

Passo 8

Para x=0 temos g(0)=1, logo
fYmid X(ymid0)=2y, 0<= y<=1
Assim
Pl(Y<tfrac12mid X=0r) =integral0^1/22y,dy =l[y^2r]0^1/2 =tfrac14

Passo 9

Para y=tfrac12 o suporte de X é [-1/2,1/2] e
fXmid Yl(xmidtfrac12r) =3,x^22,(1-tfrac12)^3 =3,x^22,(1/2)^3 =12,x^2, -tfrac12<= x<=tfrac12
Então
Pl(X>0mid Y=tfrac12r) =integral0^1/212,x^2dx =12l[tfracx^33r]0^1/2 =4cdottfrac18 =tfrac12
Como a densidade condicional em x é simétrica ao redor de zero, a probabilidade de X ser positiva é igual à de ser negativa.

Resposta

(a)
á
(c) .
(d) .
(e) .
(f) (simetria e preservação das chances relativas).

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