Seja ( ) vetor aleatório no triângulo de vértices , e admitindo densidade .
(a) Obtenha o valor de .
(b) Determine as distribuições marginais de e de .
(c) Obtenha a distribuição condicional de dado que , para .
(d) Obtenha a distribuição condicional de dado que , para .
(e) Calcule .
(f) Calcule . Interprete esse resultado a partir da ideia da preservação de chances relativas da distribuição condicional.
Passo 1
O enunciado dá um vetor aleatório com densidade
suportada no triângulo de vértices , e . Vamos precisar de integração dupla em regiões poligonais para achar a constante de normalização , depois usar definições de densidade marginal e condicional e, por fim, calcular probabilidades condicionais específicas.
Passo 2
Para achar usamos a normalização
onde é o triângulo. Note que, para , a aresta superior é , e para é . Assim
Passo 3
Calculemos a integral genérica
Cada parte do triângulo contribui com , e somando dá . Logo
Passo 4
A densidade marginal de é
onde
Portanto
fX(x)= 15,x^2(x+1)^2,&-1<= x<=0, 15,x^2(1-x)^2,&0<= x<=1, 0,&caso contrário á