Seja ( X, Y ) vetor aleatório no quadrado (0,1) times(0,1) admitindo densidade f(x, y)= cxy.
(a) Obtenha o valor de c.
(b) Obtenha a função de distribuição de ( X, Y ).

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor aleatório (X,Y) em (0,1)times(0,1) com densidade conjunta
f(x,y)=c,x,y
Pede-se
(a) determinar a constante de normalização c, usando a condição integral dupla f=1,
(b) obter a função de distribuição conjunta
F(x,y)=P(X<= x,;Y<= y)
a partir da definição F(x,y)=integral-infty^x!integral-infty^y f(u,v),dv,du.

Passo 2

Para achar c impomos a normalização
1 ;=;integral0^1!integral0^1c,x,y,dy,dx = cl(integral0^1 x,dxr)l(integral0^1 y,dyr) = ccdot12cdot12 = c4
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c = 4

Passo 3

Pela definição de cdf, para x,yin[0,1] vale
F(x,y) = integral0^x!integral0^y4,u,v,dv,du =4l(integral0^xu,dur)l(integral0^yv,dvr) =4cdotx^22cdoty^22 = x^2y^2
Fora desse quadrado, F satisfaz as condições triviais de uma cdf (é zero abaixo de 0 e não passa de 1 acima de 1).

Resposta

(a) c = 4.
(b) A função de distribuição conjunta é, para x,yinR,
  • F(x,y)=0 se x<=0 ou y<=0.
  • F(x,y)=x^2y^2 se 0<x<1 e 0<y<1.
  • F(x,y)=x^2 se 0<x<1 e y>=1.
  • F(x,y)=y^2 se x>=1 e 0<y<1.
  • F(x,y)=1 se x>=1 e y>=1.

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