(Barry James) Suponha que ( X, Y ) tenha distribuição uniforme no triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,0). Seja Z=X+Y.
(a) Obtenha a função de distribuição de Z.
(b) Obtenha densidade para Z.

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniforme no triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (1,0), e define Z = X+Y. Pede-se (a) a função de distribuição FZ(z) e (b) a densidade fZ(z). Para resolvermos, vamos usar conceito de densidade conjunta uniforme e calcular
FZ(z)=P(X+Y<= z)=integral duplax+y<= z fX,Y(x,y),dx,dy
depois diferenciamos para achar fZ.

Passo 2

Como (X,Y) é uniforme no triângulo T=(x,y):x>=0,;y>=0,;x+y<=1, a área de T é tfrac12. Logo a densidade conjunta é constante igual a
fX,Y(x,y)=1área(T)=2 á
para (x,y)in T, e zero fora.

Passo 3

Para 0<= z<=1, a região x>=0,y>=0,x+y<= z é outro triângulo de vértice (0,0), (z,0), (0,z) com área tfracz^22. Então
FZ(z)=integral duplax+y<= z2,dx,dy =2cdotz^22 =z^2

Passo 4

Fora desse intervalo, Z=X+Y nunca é negativo e nunca ultrapassa 1. Portanto
FZ(z)= 0,&z<0, z^2,&0<= z<=1, 1,&z>1

Passo 5

A densidade fZ é a derivada de FZ. Assim, para 0<z<1 temos
fZ(z)=ddzz^2=2z,
e fora desse intervalo fZ(z)=0.

Resposta

(a)
FZ(z)= 0,&z<0, z^2,&0<= z<=1, 1,&z>1
(b)
fZ(z)= 2z,&0<= z<=1, 0,&caso contrário á

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