Seja ( X, Y, Z ) vetor aleatório uniformemente distribuído no cilindro
C=(x, y, z): x^2+y^2<1 ; 0<z<1
Sejam X=R cos Theta e Y=R sen Theta.
(a) Em que intervalos variam R, Theta e Z ?
(b) Para r, theta e z pertencentes, respectivamente, aos intervalos de variação de R, Theta e Z, calcule P(R <= r), P(Theta <= theta), P(Z <= z) e P(R <= r, Theta <= theta, Z <= z).

Passo 1

O enunciado trata de um vetor aleatório (X,Y,Z) uniformemente distribuído no cilindro
C=(x,y,z)mid x^2+y^2<1,;0<z<1
Definimos as coordenadas polares
X=RcosTheta, Y=RsinTheta,
e queremos (a) identificar os intervalos de R,Theta,Z e (b) calcular as distribuições acumuladas
;P(R<= r),P(Theta<=theta),P(Z<= z) e a CDF conjunta
;P(R<= r,Theta<=theta,Z<= z).

Passo 2

Para achar os intervalos, note que
;x^2+y^2<1 implica 0<= R<1, que a coordenada angular em volta do eixo varia em
;0<=Theta<2pi, e que z está entre 0 e 1. Logo
0<= R<1, 0<=Theta<2pi, 0<Z<1

Passo 3

Como a densidade é uniforme no cilindro de volume picdot1= pi, temos
fX,Y,Z(x,y,z)=1pise (x,y,z)in C
Em coordenadas cilíndricas o jacobiano é r, de modo que a densidade conjunta de (R,Theta,Z) é
fR,Theta,Z(r,theta,z) =1pi;r,
para 0<= r<1,;0<=theta<2pi,;0<z<1.

Passo 4

Observe que
fR,Theta,Z(r,theta,z) =underbrace2rfR(r);times;underbrace12pifTheta(theta);times;underbrace1fZ(z),
ou seja, R,Theta,Z são independentes com marginais
fR(r)=2r,;0<= r<1; fTheta(theta)=12pi,;0<=theta<2pi; fZ(z)=1,;0<z<1

Passo 5

Para 0<= r<=1,
P(R<= r) =integral0^r2s,ds =r^2
Para 0<=theta<=2pi,
P(Theta<=theta) =integral0^theta12pi,dphi =theta2pi
Para 0<= z<=1,
P(Z<= z) =integral0^z1,dt =z

Passo 6

Pela independência, para 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,;0<= z<=1,
P(R<= r,Theta<=theta,Z<= z) =P(R<= r);P(Theta<=theta);P(Z<= z) =r^2;theta2pi;z

Resposta

(a) 0<= R<1,;0<=Theta<2pi,;0<Z<1
(b)
P(R<= r)=r^2, P(Theta<=theta)=theta2pi, P(Z<= z)=z,
P(R<= r,Theta<=theta,Z<= z) =r^2,theta2pi,z

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