Seja (
) vetor aleatório uniformemente distribuído no cilindro
Sejam
e
.
(a) Em que intervalos variam
e
?
(b) Para
e
pertencentes, respectivamente, aos intervalos de variação de
e
, calcule
e
.
(a) Em que intervalos variam
(b) Para
Passo 1
O enunciado trata de um vetor aleatório
uniformemente distribuído no cilindro
Definimos as coordenadas polares
e queremos (a) identificar os intervalos de
e (b) calcular as distribuições acumuladas
e a CDF conjunta
.
Passo 2
Para achar os intervalos, note que
implica
, que a coordenada angular em volta do eixo varia em
, e que
está entre 0 e 1. Logo
Passo 3
Como a densidade é uniforme no cilindro de volume
, temos
Em coordenadas cilíndricas o jacobiano é
, de modo que a densidade conjunta de
é
para
.
Passo 4
Observe que
ou seja,
R,Theta,Z são independentes com marginais
Passo 5
Para
0<= r<=1 ,
Para
0<=theta<=2pi ,
Para
0<= z<=1 ,
Passo 6
Pela independência, para
0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,;0<= z<=1 ,
Resposta
(a)
0<= R<1,;0<=Theta<2pi,;0<Z<1
(b)
(b)