Se (barx, bary) for o centroide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e forem definidos como Mx o momento de R em relação ao eixo x e My o momento de R em relação ao eixo y, dados pelas expressões:
Mx=12 integral0^a[f(x)]^2 d x e My=integral0^b x[f(x)] d x
Então o centroide é dado por x=MyA e bary=MxA. Com base nestas informações, determine o centroide da região no primeiro quadrante limitada pela curva y^2=16 x, pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=4.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar o centroide (barx, bary) de uma região no primeiro quadrante limitada pela curva y^2 = 16x, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 4. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de momento de área ( Mx e My) e área A da região. Precisamos calcular esses momentos e a área para, então, determinar o centroide usando as fórmulas x = MyA e y = MxA.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva y^2 = 16x. Essa é uma parábola que abre para a direita. No primeiro quadrante, onde x e y são positivos, podemos expressar y em função de x:
y = f(x) = 4raizx

Passo 3

Agora, vamos calcular a área A da região limitada. A área sob uma curva de x = a a x = b é dada por:
A = integrala^b f(x) , dx
Aqui, a = 1 e b = 4, então:
A = integral1^4 4raizx , dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral para encontrar A:
A = 4 integral1^4 x^1/2 , dx = 4 [ 23 x^3/2 ]1^4 = 4 ( 23 cdot 8 - 23 cdot 1 ) = 4 ( 163 - 23 ) = 4 cdot 143 = 563
Então, a área A = 563 unidades quadradas.

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento Mx, que é dado por:
Mx = 12 integrala^b [f(x)]^2 , dx
Substituindo f(x) = 4raizx:
Mx = 12 integral1^4 (4raizx)^2 , dx = 12 integral1^4 16x , dx = 8 integral1^4 x , dx

Passo 6

Resolvendo a integral para Mx:
Mx = 8 [ 12 x^2 ]1^4 = 8 ( 12 cdot 16 - 12 cdot 1 ) = 8 ( 8 - 0.5 ) = 8 cdot 7.5 = 60
Então, Mx = 60.

Passo 7

Em seguida, vamos calcular o momento My, que é dado por:
My = integrala^b x f(x) , dx
Substituindo f(x) = 4raizx:
My = integral1^4 x cdot 4raizx , dx = 4 integral1^4 x^3/2 , dx

Passo 8

Resolvendo a integral para My:
My = 4 [ 25 x^5/2 ]1^4 = 4 ( 25 cdot 32 - 25 cdot 1 ) = 4 ( 645 - 25 ) = 4 cdot 625 = 2485
Então, My = 2485.

Passo 9

Agora que temos A, Mx e My, vamos encontrar as coordenadas do centroide:
x = MyA = 2485563 = 2485 cdot 356 = 744280 = 9335 approx 2.657
y = MxA = 60563 = 60 cdot 356 = 18056 = 4514 approx 3.214

Resposta

O centroide da região é (9335, 4514), ou aproximadamente (2.657, 3.214).

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