Se for o centroide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e forem definidos como o momento de R em relação ao eixo x e o momento de R em relação ao eixo y, dados pelas expressões:
Então o centroide é dado por . Com base nestas informações, determine o centroide da região no primeiro quadrante limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar o centroide de uma região no primeiro quadrante limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de momento de área ( e ) e área da região. Precisamos calcular esses momentos e a área para, então, determinar o centroide usando as fórmulas e y = MxA.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva y^2 = 16x. Essa é uma parábola que abre para a direita. No primeiro quadrante, onde x e y são positivos, podemos expressar y em função de x:
y = f(x) = 4raizx
Passo 3
Agora, vamos calcular a área A da região limitada. A área sob uma curva de x = a a x = b é dada por: