O raio de uma esfera aumenta a uma taxa de 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Qual a taxa de variação do volume da esfera quando o raio mede 10 cm ?

Passo 1

O enunciado diz que o raio r de uma esfera cresce a uma taxa \frac{dr}{dt}=5\\ \mathrm{cm/s} e pede a taxa de variação do volume V quando r=10\\ \mathrm{cm}. O conteúdo é derivadas de funções compostas (regra da cadeia) e precisamos da fórmula do volume da esfera.

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera em função do raio é
V = \tfrac{4}{3}\,\pi\,r^3.

Passo 3

Para achar \frac{dV}{dt}, aplicamos a derivada em relação a t usando a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{4}{3}\,\pi\,r^3\Bigr) = \tfrac{4}{3}\,\pi \cdot 3\,r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\,\pi\,r^2\,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Substituímos r=10\\ \mathrm{cm} e \frac{dr}{dt}=5\\ \mathrm{cm/s}:
\frac{dV}{dt} = 4\,\pi\,(10)^2 \times 5 = 4\,\pi \times 100 \times 5.

Passo 5

Fazendo as multiplicações:
4 \times 100 \times 5 = 2000,
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\frac{dV}{dt} = 2000\,\pi\\ \text{cm}^3/\text{s}.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dt}=2000\pi\\ \text{cm}^3/\text{s}

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