A base de um cilindro maciço é fixado no plano x y e seu eixo coincide com o eixo f z de um sistema cartesiano de coordenadas. Considere que o cilindro tem raio R , altura H e densidade de carga rho0. Mostre que o campo elétrico gerado por este cilindro no ponto p=(0,0, z) é dado por:
E=rho02 epsilon0[H+raizR^2+(z-H)^2-raizR^2+z^2] k

Passo 1

A gente tem um cilindro de raio R, altura H e densidade volumétrica de carga rho0, com base em z=0 e eixo ao longo de z. O objetivo é encontrar o campo elétrico em P=(0,0,z). Para isso vamos usar o princípio da superposição, dividindo o cilindro em discos finos de espessura dz' e integrando o campo de cada disco ao longo do eixo.

Passo 2

Considere um disco fino de raio R e espessura dz' localizado em z'. A densidade superficial de carga desse disco é
sigma = rho0,dz'
Sabemos que o campo no ponto P devido a um disco uniformemente carregado, na direção do eixo, tem magnitude
dEz = sigma2epsilon0l(1 - draizR^2 + d^2r),
onde d = z - z' é a distância axial entre o disco e P, e o vetor campo fica em k.

Passo 3

Substituindo sigma = rho0,dz' e d = z - z', o elemento de campo fica
dEz = rho02epsilon0l(1 - z - z'raizR^2 + (z - z')^2r),dz'
Pela superposição, integramos z' de 0 a H:
Ez = integral0^H dEz = rho02epsilon0integral0^H l(1 - z - z'raizR^2 + (z - z')^2r),dz'

Passo 4

Separe a integral em duas partes:
Ez = rho02epsilon0l[integral0^H 1,dz' - integral0^H z - z'raizR^2 + (z - z')^2,dz'r]
A primeira é trivial: integral0^H 1,dz' = H. Para a segunda, use a troca de variável u = z - z', de modo que du = -dz'. Quando z'=0 temos u=z e quando z'=H temos u=z-H. Assim
integral0^H z - z'raizR^2 + (z - z')^2,dz' = integralu=z^u=z-HuraizR^2+u^2(-du) = integralz-H^zuraizR^2+u^2,du
A primitiva de u/raizR^2+u^2 é raizR^2+u^2, logo
integralz-H^zuraizR^2+u^2,du = raizR^2+z^2 - raizR^2+(z-H)^2

Passo 5

Substituindo de volta em Ez, obtemos
Ez = rho02epsilon0l[H - l(raizR^2+z^2 - raizR^2+(z-H)^2r)r] = rho02epsilon0l[H + raizR^2+(z-H)^2 - raizR^2+z^2r]
Como o campo está ao longo de k,
E = Ez,k

Resposta

boxedE = rho02epsilon0l[H + raizR^2 + (z - H)^2 - raizR^2 + z^2r];k

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