A base de um cilindro maciço é fixado no plano
e seu eixo coincide com o eixo
de um sistema cartesiano de coordenadas. Considere que o cilindro tem raio R , altura H e densidade de carga
. Mostre que o campo elétrico gerado por este cilindro no ponto
é dado por:
Passo 1
A gente tem um cilindro de raio
, altura
e densidade volumétrica de carga
, com base em
e eixo ao longo de
. O objetivo é encontrar o campo elétrico em
. Para isso vamos usar o princípio da superposição, dividindo o cilindro em discos finos de espessura
e integrando o campo de cada disco ao longo do eixo.
Passo 2
Considere um disco fino de raio
e espessura
localizado em
. A densidade superficial de carga desse disco é
Sabemos que o campo no ponto
devido a um disco uniformemente carregado, na direção do eixo, tem magnitude
onde
é a distância axial entre o disco e
, e o vetor campo fica em
.
Passo 3
Substituindo
e
, o elemento de campo fica
Pela superposição, integramos
de
a
:
Passo 4
Separe a integral em duas partes:
A primeira é trivial:
. Para a segunda, use a troca de variável
, de modo que
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
A primitiva de
é
, logo
Passo 5
Substituindo de volta em
, obtemos
Como o campo está ao longo de
,