Use o 2^O Teorema da Translação para encontrar f(t) ou F(s) conforme o caso.
mathscrL[cos (2 t) U(t-pi)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de cos(2t), U(t-pi) usando o segundo teorema da translação. Vamos precisar do conceito de função de Heaviside U(t-a) e da fórmula
mathscrLf(t-a), U(t-a)(s) = e^-a s,F(s),
onde F(s)=mathscrLf(t)(s).

Passo 2

Precisamos escrever cos(2t), U(t-pi) na forma f(t-pi), U(t-pi). Observe que
cos(2t) =cosl(2[(t-pi)+pi]r) =cosl(2(t-pi)+2pir) =cosl(2(t-pi)r),
pois cos(theta+2pi)=costheta. Logo podemos tomar
f(tau)=cos(2tau),
de modo que
cos(2t), U(t-pi) =fl(t-pir), U(t-pi)

Passo 3

Calculemos F(s)=mathscrLf(t)(s)=mathscrLcos(2t)(s). Sabemos que
mathscrLcos(omega t)(s) =ss^2+omega^2,
então para omega=2 temos
F(s)=ss^2+4

Passo 4

Aplicando o segundo teorema da translação com a=pi, obtemos
mathscrLcos(2t), U(t-pi)(s) =e^-pi s,F(s) =e^-pi s,ss^2+4

Resposta

mathscrLcos(2t), U(t-pi)(s) = e^-pi s,ss^2+4

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