Com base na discussão feita em sala de aula, tome uma colisão perfeitamente inelásticas em unidimensional, entre dois corpos de massa m_{1} e m_{2}. Baseando-se nos princípios que de conservação de momento e na perca de energia cinética nesses eventos:
(a) Mostre que:
K_{i}=K_{C M}+K_{r e l}
onde o índice C M e rel nas energias cinéticas, representam Centro de Massa e relativo, respectivamente. Além disso, podemos escrever:
\left\{\begin{array}{c} K_{C M}=\frac{1}{2} M v_{C M}^{2} \\\ K_{r e l}=\frac{1}{2} \mu v^{2} \end{array}\right.
onde, M=m_{1}+m_{2}.
(b) Mostre que K_{f}=K_{C M}, depois da colisão. Isso verifica que Q=-K_{\text {rel }}, mostrando que K_{C M} é constante na colisão, e que K_{r e l} é totalmente perdido.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão perfeitamente inelástica unidimensional entre massas m_{1} e m_{2}. Vamos usar a conservação do momento e decompor a energia cinética inicial em uma parte de movimento do centro de massa (CM) e outra de movimento relativo, mostrando que
K_{i}=K_{C M}+K_{\text{rel}}
com
K_{C M}=\tfrac12\,M\,v_{C M}^{2},\quad K_{\text{rel}}=\tfrac12\,\mu\,v^{2},
once M=m_{1}+m_{2} e \mu=\frac{m_{1}m_{2}}{M}. Em seguida, usaremos que após colisão perfeitamente inelástica ambos os corpos movem-se com v_{C M} para mostrar que K_{f}=K_{C M} e que a perda Q=-K_{\text{rel}}.

Passo 2

Definimos o centro de massa e a velocidade relativa:
v_{C M}=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \qquad v=v_{1}-v_{2}.
Escrevemos as velocidades individuais como
v_{1}=v_{C M}+u_{1},\quad v_{2}=v_{C M}+u_{2},
com a condição de que m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=0. Isso implica
u_{1}=\frac{m_{2}}{M}\,v, \qquad u_{2}=-\frac{m_{1}}{M}\,v.

Passo 3

A energia cinética inicial é
K_{i} =\tfrac12\,m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac12\,m_{2}v_{2}^{2} =\tfrac12\sum_{i=1}^{2}m_{i}(v_{C M}+u_{i})^{2}.
Ao expandir,
K_{i} =\tfrac12\sum m_{i}(v_{C M}^{2}+2v_{C M}u_{i}+u_{i}^{2}) =\tfrac12\,M\,v_{C M}^{2} +v_{C M}\underbrace{\sum m_{i}u_{i}}_{0} +\tfrac12\sum m_{i}u_{i}^{2}.
Logo
K_{i} =\underbrace{\tfrac12\,M\,v_{C M}^{2}}_{K_{C M}} +\underbrace{\tfrac12\bigl(m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}\bigr)}_{K_{\text{rel}}}.

Passo 4

Calculamos
m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2} =m_{1}\Bigl(\frac{m_{2}}{M}v\Bigr)^{2} +m_{2}\Bigl(\frac{m_{1}}{M}v\Bigr)^{2} =\frac{m_{1}m_{2}}{M}\,v^{2} =\mu\,v^{2}.
Assim obtemos
K_{C M}=\tfrac12\,M\,v_{C M}^{2}, \qquad K_{\text{rel}}=\tfrac12\,\mu\,v^{2},
e
K_{i}=K_{C M}+K_{\text{rel}}.

Passo 5

Na colisão perfeitamente inelástica, as partículas grudam e passam a ter velocidade comum v_{f}. Pela conservação do momento:
(m_{1}+m_{2})\,v_{f} =m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} =M\,v_{C M},
ou seja v_{f}=v_{C M}.

Passo 6

A energia cinética final é
K_{f} =\tfrac12\,M\,v_{f}^{2} =\tfrac12\,M\,v_{C M}^{2} =K_{C M}.
Logo a variação de energia (calor gerado) é
Q=K_{f}-K_{i} =K_{C M}-\bigl(K_{C M}+K_{\text{rel}}\bigr) =-K_{\text{rel}},
mostrando que K_{C M} permanece constante e toda a energia relativa K_{\text{rel}} é dissipada.

Resposta

(a) \displaystyle K_{i}=K_{C M}+K_{\text{rel}}, com
\displaystyle K_{C M}=\tfrac12\,M\,v_{C M}^{2} e \displaystyle K_{\text{rel}}=\tfrac12\,\mu\,v^{2}.
(b) Após colisão perfeitamente inelástica,
\displaystyle K_{f}=K_{C M}
e Q=-K_{\text{rel}}.

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