Exemplo 10

Um vagão de carga com massa igual a 40 toneladas se desloca a 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e colide com outro que viaja no mesmo sentido com velocidade igual a 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; a massa do segundo vagão é igual a 25 toneladas. (a) Ache as velocidades dos dois vagões após a colisão e a perda de energia cinética durante a colisão supondo que os dois vagões passam a se mover juntos. (b) Se a colisão fosse elástica, os dois vagões não se uniriam e continuariam a se locomover separados; qual seria neste caso a velocidade de cada vagão?
Solução:
(a) Utilizando a conservação do momento linear, teremos:
\begin{array}{r} \vec{P}_{i}=\vec{P}_{f} \Rightarrow P_{i x}=P_{f x} \\\ M_{1} v 1+M_{s} v_{2}=\left(M_{1}+M_{2}\right) v_{12} \\\\ 40.2,5+25.1,5=65 v_{12} \\\ v_{12} \approx 2,1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{array}
A perda de energia cinética:
\begin{array}{r} K_{i}=\frac{M_{1} v_{1}^{2}}{2}+\frac{M_{2} v_{2}^{2}}{2} \\\ K_{i}=\left(\frac{40 \cdot(2,5)^{2}}{2}+\frac{25 \cdot(1,5)^{2}}{2}\right) \cdot 10^{3} \approx 153 \cdot 10^{3} \mathrm{~J} \\\ K_{f}=\frac{\left(M_{1}+M_{2}\right) v_{12}^{2}}{2} \approx 143 \cdot 10^{3} \mathrm{~J} \\\ \Rightarrow \Delta K=-10^{4} \mathrm{~J} \end{array}
(b) Novamente, utilizando a conservação de momento linear, teremos:
\begin{array}{r} \vec{P}_{i}=\vec{P}_{f} \Rightarrow P_{i x}=P_{f x} \\\ M_{1} v 1 i+M_{s} v_{2 i}=M_{1} v 1 f+M_{2} v_{2 f} \\\\ 40.2,5+25.1,5=40 v 1 f+25 v_{2 f} \\\\ 40 v 1 f+25 v_{2 f}=137,5 \end{array}
Como a colisão é elástica, as velocidades relativas de aproximação e de afastamento devem ser iguais. Assim, teremos:
\begin{array}{r} v_{1 i}-v_{2 i}=v_{2 f}-v_{1 f} \\\ v_{2 f}-v_{1 f}=1 \Rightarrow v_{2 f}=1+v_{1 f} \end{array}
Utilizando os resultados anteriores, teremos:
\begin{array}{r} 40 v_{1 f}+25\left(1+v_{1 f}\right)=137,5 \\\\ 65 v_{1 f}=112,5 \\\ \Rightarrow v_{1 f}=1,73 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\ \Rightarrow v_{2 f}=2,73 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{array}

Passo 1

O enunciado descreve dois vagões que colidem no mesmo sentido: o vagão 1 tem massa M_{1}=40 t e velocidade inicial v_{1i}=2,5 m/s; o vagão 2 tem massa M_{2}=25 t e velocidade inicial v_{2i}=1,5 m/s. Na parte (a) eles se unem após a colisão (colisão completamente inelástica) e queremos encontrar a velocidade comum v_{12} e a perda de energia cinética \Delta K. Na parte (b) a colisão é perfeitamente elástica, de modo que permanecem separados; usaremos conservação do momento linear e a igualdade entre a velocidade relativa de aproximação e de afastamento.

Passo 2

Para a colisão inelástica total aplicamos conservação do momento linear. Como as massas estão em toneladas, podemos escrever diretamente
M_{1} v_{1i}+M_{2} v_{2i} = (M_{1}+M_{2})\,v_{12}.
Substituindo M_{1}=40, M_{2}=25, v_{1i}=2,5, v_{2i}=1,5:
40\cdot2,5 \;+\;25\cdot1,5 \;=\;65\,v_{12} \quad\Longrightarrow\quad 100 + 37,5 = 65\,v_{12} \quad\Longrightarrow\quad v_{12} \approx 2,1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora calculamos a energia cinética antes ( K_{i}) e depois ( K_{f}), convertendo as massas para quilogramas ( 1 t =10^{3} kg):
K_{i} =\frac{M_{1}\,(v_{1i})^{2}}{2} + \frac{M_{2}\,(v_{2i})^{2}}{2} =\Bigl(\frac{40\,(2,5)^{2}}{2} + \frac{25\,(1,5)^{2}}{2}\Bigr)\times10^{3}\\ \mathrm{J} \approx153\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

A energia cinética após a colisão é
K_{f} =\frac{(M_{1}+M_{2})\,v_{12}^{2}}{2} =\frac{65\,(2,1)^{2}}{2}\times10^{3}\\ \mathrm{J} \approx143\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Logo a variação é
\Delta K = K_{f}-K_{i}\approx 143\times10^{3} - 153\times10^{3} = -10\times10^{3}\\ \mathrm{J} = -1,0\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para a colisão perfeitamente elástica, aplicamos:
  1. conservação do momento
M_{1}v_{1i}+M_{2}v_{2i} = M_{1}v_{1f} + M_{2}v_{2f},
  1. igualdade das velocidades relativas (coeficiente de restituição e=1):
v_{1i}-v_{2i} = -(v_{1f}-v_{2f}) \quad\Longrightarrow\quad v_{2f}-v_{1f} = v_{1i}-v_{2i} = 2,5-1,5 = 1,0.
Da segunda equação vem v_{2f}=v_{1f}+1. Substituindo na de momento:
40\,v_{1f} + 25\,(v_{1f}+1) = 40\cdot2,5 + 25\cdot1,5 = 137,5 \quad\Longrightarrow\quad 65\,v_{1f} = 112,5 \quad\Longrightarrow\quad v_{1f}\approx1,73\\ \mathrm{m/s},
v_{2f}=1,73 +1,0 = 2,73\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v_{12}\approx2,1\\ \mathrm{m/s},\quad \Delta K\approx-1,0\times10^{4}\\ \mathrm{J}.
v_{1f}\approx1,73\\ \mathrm{m/s},\quad v_{2f}\approx2,73\\ \mathrm{m/s}.

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